Considere o sistema:
c6 x+8 y-4 z=0 2 x-3 y+4 z=11 x-y+z=4
Assinale a alternativa correta.
c. O sistema é compatível e indeterminado

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares em três incógnitas x,y,z e pede para classificá-lo (compatível ou não, determinado ou indeterminado). Vamos resolver o sistema por substituição e, a partir da solução, fazer a classificação.

Passo 2

Da terceira equação temos
x - y + z = 4
logo
x = 4 + y - z
Substituímos esse valor de x nas duas primeiras equações.

Passo 3

Na primeira equação
6x + 8y - 4z = 0
substituindo x = 4 + y - z obtemos
6(4+y-z) + 8y - 4z = 0 Longrightarrow 24 + 6y - 6z + 8y - 4z = 0 Longrightarrow 14y - 10z = -24
que simplifica para
7y - 5z = -12
Na segunda equação
2x - 3y + 4z = 11
substituindo x = 4 + y - z obtemos
2(4+y-z) - 3y + 4z = 11 Longrightarrow 8 + 2y - 2z - 3y + 4z = 11 Longrightarrow -y + 2z = 3
que é equivalente a
y - 2z = -3

Passo 4

Resolvendo o sistema
7y - 5z = -12, y - 2z = -3,
da segunda equação y = 2z - 3. Substituindo na primeira:
7(2z - 3) - 5z = -12 Longrightarrow 14z - 21 - 5z = -12 Longrightarrow 9z = 9 Longrightarrow z = 1,
logo y = 2cdot1 - 3 = -1. Então
x = 4 + y - z = 4 + (-1) - 1 = 2
Obtivemos a única solução (x,y,z) = (2,-1,1).

Passo 5

Como existe exatamente uma solução, o sistema é compatível e determinado.

Resposta

O sistema é compatível e determinado.

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