(5 Pontos ) Considere o espaço vetorial R[x]. Determine se os polinômios f(x), g(x), h(x) são linearmente dependentes, onde f(x)=x^3+4 x^2-2 x+3, g(x)=x^3+6 x^2-x+4, h(x)=2 x^3+8 x^2-8 x+7

Passo 1

O enunciado está no contexto de espaço vetorial de polinômios R[x] e pede para verificar se os três polinômios
f(x)=x^3+4x^2-2x+3, g(x)=x^3+6x^2-x+4, h(x)=2x^3+8x^2-8x+7
são linearmente dependentes.
Para isso, vamos usar a definição: eles são dependentes se existir uma combinação
a f(x) + b g(x) + c h(x) = 0
não trivial (i.e.\ com algum a,b ou cneq0). Caso contrário, são independentes.

Passo 2

Vamos olhar os coeficientes de 1, x, x^2, x^3. Em coordenadas na base 1,x,x^2,x^3, temos
frightarrow (3,,-2,,4,,1), grightarrow (4,,-1,,6,,1), hrightarrow (7,,-8,,8,,2)

Passo 3

Escrevendo
a,(3,-2,4,1)+b,(4,-1,6,1)+c,(7,-8,8,2) = (0,0,0,0)
obtemos o sistema linear em a,b,c:
3a + 4b + 7c = 0, -2a - b - 8c = 0, 4a + 6b + 8c = 0, a + b + 2c = 0

Passo 4

Para resolver, use a última equação a+b+2c=0 para escrever a=-b-2c. Substituindo na equação do coeficiente de x^2,
4(-b-2c)+6b+8c = 2b = 0 Longrightarrow b=0
Então a=-2c. Na equação do coeficiente de x,
-2a - b -8c = -2(-2c) -0 -8c = -4c = 0 Longrightarrow c=0
Logo a=b=c=0 é a única solução.

Resposta

Os polinômios f,g,h são linearmente independentes.

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