(5 Pontos ) Considere o espaço vetorial
. Determine se os polinômios
são linearmente dependentes, onde
,
Passo 1
O enunciado está no contexto de espaço vetorial de polinômios
e pede para verificar se os três polinômios
são linearmente dependentes.
Para isso, vamos usar a definição: eles são dependentes se existir uma combinação
Para isso, vamos usar a definição: eles são dependentes se existir uma combinação
não trivial (i.e.\ com algum
ou
). Caso contrário, são independentes.
Passo 2
Vamos olhar os coeficientes de
. Em coordenadas na base
, temos
Passo 3
Escrevendo
obtemos o sistema linear em
:
Passo 4
Para resolver, use a última equação
a+b+2c=0 para escrever
a=-b-2c . Substituindo na equação do coeficiente de
x^2 ,
Então
a=-2c . Na equação do coeficiente de
x ,
Logo
a=b=c=0 é a única solução.
Resposta
Os polinômios
f,g,h são linearmente independentes.