Questão 3. (5 pontos) Escreva a matriz A=(ll3 & -1 1 & -2) como uma combinação linear das seguintes matrizes: M1=(cc1 & 1 0 & -1) ; M2=(cc1 & 1 -1 & 0) e M3=(cc1 & -1 0 & 0)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 3 & -1 [0.3em] 1 & -2
e pede para escrevê-la como combinação linear de
M1 = 1 & 1 [0.3em] 0 & -1, M2 = 1 & 1 [0.3em] -1 & 0, M3 = 1 & -1 [0.3em] 0 & 0
O conteúdo usado aqui é a definição de combinação linear de matrizes: há escalares x,y,z tais que
A = xM1 + yM2 + zM3
]

Passo 2

Assumimos
A = xM1 + yM2 + zM3
Substituindo as matrizes, fica
x1 & 1 [0.3em] 0 & -1 + y1 & 1 [0.3em] -1 & 0 + z1 & -1 [0.3em] 0 & 0 =x+y+z & x+y-z [0.3em] -,y & -,x
]

Passo 3

Como esse resultado deve ser igual a
3 & -1 [0.3em] 1 & -2,
temos o sistema de equações
x + y + z = 3, x + y - z = -1, -,y = 1, -,x = -2
]

Passo 4

Dos dois últimos, vem
y = -1, x = 2
Substituindo em x+y+z=3
2 + (-1) + z = 3 Longrightarrow z = 2

Passo 5

Portanto os escalares são x=2, y=-1 e z=2, isto é,
A = 2,M1 ;-; M2 ;+; 2,M3

Resposta

A = 2M1 - M2 + 2M3

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