onde \dot{q}_{0}^{\prime \prime} é a amplitude da oscilação do fluxo de calor e \omega é a frequência. Determine uma expressão para a temperatura T(x, t). (Dica: Resolva a equação do calor unidimensional diretamente para o fluxo de calor, depois integre a Lei de Fourier.)
Passo 1
O enunciado dá um sólido semi-infinito (região x\ge0) inicialmente à temperatura \,T=T_{0}\,. Na borda x=0 é imposta uma flutuação periódica do fluxo de calor dada por
onde \dot{q}_{0}^{\prime\prime} é a amplitude e \omega a frequência. O sólido tem condutividade térmica k e difusividade térmica \alpha. Condições relevantes que extraio do enunciado:
condição inicial: T(x,0)=T_{0} para x\ge0;
condição no infinito: T(x,t)\to T_{0} quando x\to\infty;
condição de contorno em x=0: o fluxo superficial para dentro do sólido é \dot{q}_{y}^{\prime\prime}(t).
O que se pede: uma expressão explícita para a temperatura T(x,t) (variação no tempo e no espaço) resultante desse aquecimento periódico. Não começo a resolver aqui; só organizei o problema e as condições.
Passo 2
Modelagem matemática e equações básicas — vamos escrever a equação e a condição de contorno em termos da variável de interesse u(x,t)=T(x,t)-T_{0} (a anomalia de temperatura, que simplifica porque a condição inicial e a temperatura no infinito são zero para u).
Como \dot{q}_{y}^{\prime\prime}(t)=\dot{q}_{0}^{\prime\prime}\cos(\omega t), em termos complexos é conveniente trabalhar com \dot{q}_{0}^{\prime\prime}e^{i\omega t} e ao final tomar a parte real.
Passo 3
Método: representar a excitação senoidal por sua forma complexa e buscar solução harmônica estacionária. Ou seja, procuro uma solução complexa \tilde{u}(x,t) do tipo
\tilde{u}(x,t)=\Theta(x)\,e^{i\omega t},
onde \Theta(x) é uma amplitude complexa que depende só de x. No final, a solução física real é u(x,t)=\Re\{\tilde{u}(x,t)\}. Substituindo na equação do calor:
Resolução da ODE espacial e escolha da raiz adequada. A solução geral é
\Theta(x)=A e^{p x}+B e^{-p x}.
Como precisamos que u\to0 quando x\to\infty, devemos escolher a raiz p e os coeficientes de forma que a solução decaia com x. Tomamos a raiz com \Re\{p\}>0 para que e^{-p x} decaia, e assim ficamos com A=0. Logo
\Theta(x)=B e^{-p x}.
Agora precisamos expressar p de forma útil. Calculemos p:
p=\sqrt{\frac{i\omega}{\alpha}}.
É conveniente escrever p em termos de números reais. Note que i=(1+i)^{2}/2 manipulação comum dá a forma
p=(1+i)\sqrt{\frac{\omega}{2\alpha}}.
Defino
m\equiv\sqrt{\frac{\omega}{2\alpha}},
portanto
p=(1+i)m.
Passo 5
Aplicar a condição de contorno em x=0 para determinar B. A condição complexa correspondente é
Agora passo para a parte real e obtenho a forma final prática. Observo que (1-i)/(2m) pode ser reescrito em módulo e fase: (1-i)=\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4} e 2m=\sqrt{2}\sqrt{\dfrac{\omega}{\alpha}} — uma simplificação conveniente é escrever o fator prefatorial como \dfrac{\dot{q}_{0}^{\prime\prime}}{k}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\omega}}. Fazendo as contas:
Interpretação rápida (útil para a prova): a anomalia de temperatura decai exponencialmente com a profundidade com comprimento de penetração 1/m=\sqrt{\dfrac{2\alpha}{\omega}}, a amplitude na superfície é proporcional a \dfrac{\dot{q}_{0}^{\prime\prime}}{k}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\omega}} e há um defasamento de \pi/4 (mais a defasagem linear com x dada por m x). Esses elementos costumam ser pedidos em provas: atenuação com x, dependência em \omega^{-1/2} da amplitude e defasagem.