Um sólido semi-infinito está inicialmente à temperatura T=T_{0}, quando sua extremidade x=0 é submetida a um aquecimento periódico na forma
\dot{q}_{y}^{\prime \prime}=\dot{q}_{0}^{\prime \prime} \cos (\omega t)=\dot{q}_{0}^{\prime \prime} \Re\left\{e^{i \omega t}\right\}
onde \dot{q}_{0}^{\prime \prime} é a amplitude da oscilação do fluxo de calor e \omega é a frequência. Determine uma expressão para a temperatura T(x, t). (Dica: Resolva a equação do calor unidimensional diretamente para o fluxo de calor, depois integre a Lei de Fourier.)

Passo 1

O enunciado dá um sólido semi-infinito (região x\ge0) inicialmente à temperatura \,T=T_{0}\,. Na borda x=0 é imposta uma flutuação periódica do fluxo de calor dada por
\dot{q}_{y}^{\prime\prime}=\dot{q}_{0}^{\prime\prime}\cos(\omega t)=\dot{q}_{0}^{\prime\prime}\Re\{e^{i\omega t}\},
onde \dot{q}_{0}^{\prime\prime} é a amplitude e \omega a frequência. O sólido tem condutividade térmica k e difusividade térmica \alpha. Condições relevantes que extraio do enunciado:
  • condição inicial: T(x,0)=T_{0} para x\ge0;
  • condição no infinito: T(x,t)\to T_{0} quando x\to\infty;
  • condição de contorno em x=0: o fluxo superficial para dentro do sólido é \dot{q}_{y}^{\prime\prime}(t).
    O que se pede: uma expressão explícita para a temperatura T(x,t) (variação no tempo e no espaço) resultante desse aquecimento periódico. Não começo a resolver aqui; só organizei o problema e as condições.

Passo 2

Modelagem matemática e equações básicas — vamos escrever a equação e a condição de contorno em termos da variável de interesse u(x,t)=T(x,t)-T_{0} (a anomalia de temperatura, que simplifica porque a condição inicial e a temperatura no infinito são zero para u).
  • Equação do calor unidimensional:
\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},\qquad x>0,\;t>0.
  • Condição no infinito:
u(x,t)\to0\quad\text{quando }x\to\infty.
  • Condição de contorno em x=0, usando a Lei de Fourier (fluxo positivo para dentro do sólido):
\dot{q}_{y}^{\prime\prime}(t)=-k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0}=-k\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=0}.
Como \dot{q}_{y}^{\prime\prime}(t)=\dot{q}_{0}^{\prime\prime}\cos(\omega t), em termos complexos é conveniente trabalhar com \dot{q}_{0}^{\prime\prime}e^{i\omega t} e ao final tomar a parte real.

Passo 3

Método: representar a excitação senoidal por sua forma complexa e buscar solução harmônica estacionária. Ou seja, procuro uma solução complexa \tilde{u}(x,t) do tipo
\tilde{u}(x,t)=\Theta(x)\,e^{i\omega t},
onde \Theta(x) é uma amplitude complexa que depende só de x. No final, a solução física real é u(x,t)=\Re\{\tilde{u}(x,t)\}. Substituindo na equação do calor:
i\omega\Theta(x)e^{i\omega t}=\alpha\Theta''(x)e^{i\omega t}\quad\Rightarrow\quad \Theta''(x)-\frac{i\omega}{\alpha}\Theta(x)=0.
Defino
p^{2}=\frac{i\omega}{\alpha},
então a ODE para \Theta é \Theta''-p^{2}\Theta=0.

Passo 4

Resolução da ODE espacial e escolha da raiz adequada. A solução geral é
\Theta(x)=A e^{p x}+B e^{-p x}.
Como precisamos que u\to0 quando x\to\infty, devemos escolher a raiz p e os coeficientes de forma que a solução decaia com x. Tomamos a raiz com \Re\{p\}>0 para que e^{-p x} decaia, e assim ficamos com A=0. Logo
\Theta(x)=B e^{-p x}.
Agora precisamos expressar p de forma útil. Calculemos p:
p=\sqrt{\frac{i\omega}{\alpha}}.
É conveniente escrever p em termos de números reais. Note que i=(1+i)^{2}/2 manipulação comum dá a forma
p=(1+i)\sqrt{\frac{\omega}{2\alpha}}.
Defino
m\equiv\sqrt{\frac{\omega}{2\alpha}},
portanto
p=(1+i)m.

Passo 5

Aplicar a condição de contorno em x=0 para determinar B. A condição complexa correspondente é
\dot{q}_{0}^{\prime\prime}e^{i\omega t}=-k\left.\frac{\partial \tilde{u}}{\partial x}\right|_{x=0}=-k\Theta'(0)e^{i\omega t}.
Como \Theta(x)=B e^{-p x}, tem-se \Theta'(x)=-pB e^{-p x}, logo em x=0
\dot{q}_{0}^{\prime\prime}e^{i\omega t}=-k(-pB)e^{i\omega t}=k p B e^{i\omega t}.
Isolando B:
B=\frac{\dot{q}_{0}^{\prime\prime}}{k p}.
Portanto a solução complexa é
\tilde{u}(x,t)=\frac{\dot{q}_{0}^{\prime\prime}}{k p}\,e^{-p x}e^{i\omega t}.

Passo 6

Passar da forma complexa para a forma real e simplificar a expressão. Substituindo p=(1+i)m e m=\sqrt{\dfrac{\omega}{2\alpha}},
\tilde{u}(x,t)=\frac{\dot{q}_{0}^{\prime\prime}}{k(1+i)m}\,e^{-(1+i)m x}e^{i\omega t}.
Primeiro simplifico o fator \dfrac{1}{1+i}. Note que
\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{2}.
Logo
\frac{1}{(1+i)m}=\frac{1-i}{2m}.
Substituindo,
\tilde{u}(x,t)=\frac{\dot{q}_{0}^{\prime\prime}}{k}\cdot\frac{1-i}{2m}\,e^{-m x}e^{-i m x}e^{i\omega t}.
Agrupando exponenciais complexas:
\tilde{u}(x,t)=\frac{\dot{q}_{0}^{\prime\prime}}{k}\cdot\frac{1-i}{2m}\,e^{-m x}e^{i(\omega t-m x)}.

Passo 7

Agora passo para a parte real e obtenho a forma final prática. Observo que (1-i)/(2m) pode ser reescrito em módulo e fase: (1-i)=\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4} e 2m=\sqrt{2}\sqrt{\dfrac{\omega}{\alpha}} — uma simplificação conveniente é escrever o fator prefatorial como \dfrac{\dot{q}_{0}^{\prime\prime}}{k}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\omega}}. Fazendo as contas:
\frac{1-i}{2m}=\frac{\sqrt{2}e^{-i\pi/4}}{2m}=\frac{e^{-i\pi/4}}{\sqrt{2}m}=\frac{e^{-i\pi/4}}{\sqrt{\dfrac{2\omega}{\alpha}}}=\sqrt{\frac{\alpha}{\omega}}\,e^{-i\pi/4}.
Substituindo na expressão de \tilde{u}:
\tilde{u}(x,t)=\frac{\dot{q}_{0}^{\prime\prime}}{k}\sqrt{\frac{\alpha}{\omega}}\,e^{-m x}e^{-i\pi/4}e^{i(\omega t-m x)}.
Agrupando as fases complexas:
\tilde{u}(x,t)=\frac{\dot{q}_{0}^{\prime\prime}}{k}\sqrt{\frac{\alpha}{\omega}}\,e^{-m x}e^{i(\omega t-m x-\pi/4)}.
A solução física é a parte real:
u(x,t)=\Re\{\tilde{u}(x,t)\}=\frac{\dot{q}_{0}^{\prime\prime}}{k}\sqrt{\frac{\alpha}{\omega}}\,e^{-m x}\cos\!\big(\omega t-m x-\tfrac{\pi}{4}\big),
onde lembramos m=\sqrt{\dfrac{\omega}{2\alpha}}.

Passo 8

Interpretação rápida (útil para a prova): a anomalia de temperatura decai exponencialmente com a profundidade com comprimento de penetração 1/m=\sqrt{\dfrac{2\alpha}{\omega}}, a amplitude na superfície é proporcional a \dfrac{\dot{q}_{0}^{\prime\prime}}{k}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\omega}} e há um defasamento de \pi/4 (mais a defasagem linear com x dada por m x). Esses elementos costumam ser pedidos em provas: atenuação com x, dependência em \omega^{-1/2} da amplitude e defasagem.

Resposta

T(x,t)=T_{0}+\frac{\dot{q}_{0}^{\prime\prime}}{k}\sqrt{\frac{\alpha}{\omega}}\;e^{-x\sqrt{\dfrac{\omega}{2\alpha}}}\cos\!\left(\omega t-x\sqrt{\dfrac{\omega}{2\alpha}}-\frac{\pi}{4}\right).

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