Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg cada, cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores
. Calcule a soma dos torques sobre o sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um sistema com duas partículas, cada uma com massa de 2 kg. As posições delas em função do tempo estão dadas por vetores
e
. Nosso objetivo aqui é calcular a soma dos torques sobre esse sistema. Para isso, vamos precisar entender o que é torque e como calculá-lo usando vetores de posição e força.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é torque. Torque é uma medida de quão eficaz uma força está causando a rotação de um objeto em torno de um ponto ou eixo. A fórmula básica para o torque (
) é:
Aqui,
é o vetor posição, e
é a força aplicada. O símbolo
representa o produto vetorial, que nos dá um vetor perpendicular tanto a
quanto a
.
Passo 3
No nosso caso, as partículas estão se movendo, então precisamos encontrar a força que elas estão sofrendo. Para isso, vamos usar a segunda lei de Newton, que diz que:
Onde
é a massa e
é a aceleração da partícula. Portanto, precisamos calcular a aceleração de cada partícula para depois achar a força.
Passo 4
Vamos começar calculando a aceleração das partículas. A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar duas vezes as funções de posição de cada partícula.
Para
:
Primeira derivada (velocidade):
Segunda derivada (aceleração):
Para
:
Primeira derivada (velocidade):
Segunda derivada (aceleração):
Passo 5
Agora que temos as acelerações, podemos encontrar as forças usando a segunda lei de Newton:
Para a partícula 1:
Para a partícula 2:
Passo 6
Agora que temos as forças, vamos calcular o torque de cada partícula usando a fórmula
. Vamos fazer isso para cada uma.
Para a partícula 1:
Calculando o produto vetorial:
Para a partícula 2:
Calculando o produto vetorial:
Passo 7
Agora, para encontrar a soma dos torques sobre o sistema, simplesmente somamos os torques de cada partícula:
Resposta
A soma dos torques sobre o sistema é
.