Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg cada, cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores r1=(4 t, t^2, 0), r2=(2 t, t^4, 0). Calcule a soma dos torques sobre o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um sistema com duas partículas, cada uma com massa de 2 kg. As posições delas em função do tempo estão dadas por vetores r1=(4t, t^2, 0) e r2=(2t, t^4, 0). Nosso objetivo aqui é calcular a soma dos torques sobre esse sistema. Para isso, vamos precisar entender o que é torque e como calculá-lo usando vetores de posição e força.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é torque. Torque é uma medida de quão eficaz uma força está causando a rotação de um objeto em torno de um ponto ou eixo. A fórmula básica para o torque ( tau) é:
tau = r times F
Aqui, r é o vetor posição, e F é a força aplicada. O símbolo times representa o produto vetorial, que nos dá um vetor perpendicular tanto a r quanto a F.

Passo 3

No nosso caso, as partículas estão se movendo, então precisamos encontrar a força que elas estão sofrendo. Para isso, vamos usar a segunda lei de Newton, que diz que:
F = m cdot a
Onde m é a massa e a é a aceleração da partícula. Portanto, precisamos calcular a aceleração de cada partícula para depois achar a força.

Passo 4

Vamos começar calculando a aceleração das partículas. A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar duas vezes as funções de posição de cada partícula.
Para r1 = (4t, t^2, 0):
Primeira derivada (velocidade):
v1 = (ddt(4t), ddt(t^2), ddt(0)) = (4, 2t, 0)
Segunda derivada (aceleração):
a1 = (ddt(4), ddt(2t), ddt(0)) = (0, 2, 0)
Para r2 = (2t, t^4, 0):
Primeira derivada (velocidade):
v2 = (ddt(2t), ddt(t^4), ddt(0)) = (2, 4t^3, 0)
Segunda derivada (aceleração):
a2 = (ddt(2), ddt(4t^3), ddt(0)) = (0, 12t^2, 0)

Passo 5

Agora que temos as acelerações, podemos encontrar as forças usando a segunda lei de Newton:
Para a partícula 1:
F1 = m cdot a1 = 2 cdot (0, 2, 0) = (0, 4, 0) , N
Para a partícula 2:
F2 = m cdot a2 = 2 cdot (0, 12t^2, 0) = (0, 24t^2, 0) , N

Passo 6

Agora que temos as forças, vamos calcular o torque de cada partícula usando a fórmula tau = r times F. Vamos fazer isso para cada uma.
Para a partícula 1:
tau1 = r1 times F1 = (4t, t^2, 0) times (0, 4, 0)
Calculando o produto vetorial:
tau1 = ( (t^2 cdot 0 - 0 cdot 4), (0 cdot 0 - 4t cdot 0), (4t cdot 4 - t^2 cdot 0) ) = (0, 0, 16t)
Para a partícula 2:
tau2 = r2 times F2 = (2t, t^4, 0) times (0, 24t^2, 0)
Calculando o produto vetorial:
tau2 = ( (t^4 cdot 0 - 0 cdot 24t^2), (0 cdot 0 - 2t cdot 0), (2t cdot 24t^2 - t^4 cdot 0) ) = (0, 0, 48t^3)

Passo 7

Agora, para encontrar a soma dos torques sobre o sistema, simplesmente somamos os torques de cada partícula:
tautotal = tau1 + tau2 = (0, 0, 16t) + (0, 0, 48t^3) = (0, 0, 16t + 48t^3)

Resposta

A soma dos torques sobre o sistema é tautotal = (0, 0, 16t + 48t^3).

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