Um condutor com seção reta circular e raio
conduz uma corrente
. A densidade de corrente é constante na seção reta do condutor. (a) Qual é a densidade de corrente? (b) Qual é a corrente que passa por uma seção reta do condutor com raio
e cujo centro coincide com o centro do condutor? © Use a lei de Ampère e calcule o módulo do campo magnético
produzido pela corrente
a uma distância
do centro do condutor, para (i)
; (ii)
. (d) Faça um gráfico mostrando a variação de
em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um fio condutor com seção circular e raio $ R $ que transporta uma corrente $ I $. A densidade de corrente é constante nessa seção. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de densidade de corrente, área de seção, e a Lei de Ampère para campos magnéticos.
Passo 2
Parte (a): Qual é a densidade de corrente?
A densidade de corrente ($ J $) é definida como a corrente por unidade de área. Como a densidade é constante e a seção é circular, podemos calcular $ J $ dividindo a corrente total $ I $ pela área da seção transversal do condutor.
A área $ A $ de um círculo é dada por:
Então, a densidade de corrente $ J $ é:
Passo 3
Parte (b): Qual é a corrente que passa por uma seção reta do condutor com raio $ r < R $?
Agora, queremos saber a corrente que passa por uma área menor, com raio $ r $, que está dentro do condutor. Como a densidade de corrente é constante, podemos usar a mesma densidade $ J $ e multiplicar pela nova área $ A’ $.
A nova área $ A’ $ é:
Então, a corrente $ I’ $ que passa por essa área é:
Passo 4
Parte ©: Usando a Lei de Ampère, calcule o módulo do campo magnético $ \overrightarrow{B} $ a uma distância $ r_1 $ do centro do condutor.
A Lei de Ampère nos diz que:
Onde $ I_{enc} $ é a corrente encerrada pelo caminho de integração.
Vamos considerar dois casos:
(i) $ r_1 < R $:
Aqui, o caminho de Ampère está dentro do condutor. A corrente encerrada $ I_{enc} $ é igual a $ I’ $, que calculamos na parte (b):
Aqui, o caminho de Ampère está dentro do condutor. A corrente encerrada $ I_{enc} $ é igual a $ I’ $, que calculamos na parte (b):
O caminho de integração é um círculo de raio $ r_1 $, então o comprimento do caminho é $ 2\pi r_1 $. Como $ B $ é constante ao longo do caminho e tangencial, temos:
Resolvendo para $ B $:
(ii) $ r_1 > R $:
Agora, o caminho de Ampère está fora do condutor. Toda a corrente $ I $ está encerrada:
Agora, o caminho de Ampère está fora do condutor. Toda a corrente $ I $ está encerrada:
O comprimento do caminho é $ 2\pi r_1 $. Aplicando a Lei de Ampère:
Resolvendo para $ B $:
Resposta
(a) A densidade de corrente é $ J = \frac{I}{\pi R^2} $.
(b) A corrente que passa por uma seção com raio $ r < R $ é $ I’ = I \left( \frac{r2}{R2} \right) $.
©
- Para $ r_1 < R $, o campo magnético é $ B = \frac{\mu_0 I r_1}{2\pi R^2} $.
- Para $ r_1 > R $, o campo magnético é $ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1} $.