Um condutor com seção reta circular e raio R conduz uma corrente I. A densidade de corrente é constante na seção reta do condutor. (a) Qual é a densidade de corrente? (b) Qual é a corrente que passa por uma seção reta do condutor com raio r e cujo centro coincide com o centro do condutor? © Use a lei de Ampère e calcule o módulo do campo magnético B produzido pela corrente I a uma distância r1 do centro do condutor, para (i) r1; (ii) r1>R. (d) Faça um gráfico mostrando a variação de B em função de r1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um fio condutor com seção circular e raio $ R $ que transporta uma corrente $ I $. A densidade de corrente é constante nessa seção. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de densidade de corrente, área de seção, e a Lei de Ampère para campos magnéticos.

Passo 2

Parte (a): Qual é a densidade de corrente?
A densidade de corrente ($ J $) é definida como a corrente por unidade de área. Como a densidade é constante e a seção é circular, podemos calcular $ J $ dividindo a corrente total $ I $ pela área da seção transversal do condutor.
A área $ A $ de um círculo é dada por:
J
Então, a densidade de corrente $ J $ é:
J

Passo 3

Parte (b): Qual é a corrente que passa por uma seção reta do condutor com raio $ r < R $?
Agora, queremos saber a corrente que passa por uma área menor, com raio $ r $, que está dentro do condutor. Como a densidade de corrente é constante, podemos usar a mesma densidade $ J $ e multiplicar pela nova área $ A’ $.
A nova área $ A’ $ é:
r < R
Então, a corrente $ I’ $ que passa por essa área é:
r

Passo 4

Parte ©: Usando a Lei de Ampère, calcule o módulo do campo magnético $ \overrightarrow{B} $ a uma distância $ r_1 $ do centro do condutor.
A Lei de Ampère nos diz que:
B
Onde $ I_{enc} $ é a corrente encerrada pelo caminho de integração.
Vamos considerar dois casos:
(i) $ r_1 < R $:
Aqui, o caminho de Ampère está dentro do condutor. A corrente encerrada $ I_{enc} $ é igual a $ I’ $, que calculamos na parte (b):
r1
O caminho de integração é um círculo de raio $ r_1 $, então o comprimento do caminho é $ 2\pi r_1 $. Como $ B $ é constante ao longo do caminho e tangencial, temos:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Resolvendo para $ B $:
Ienc
(ii) $ r_1 > R $:
Agora, o caminho de Ampère está fora do condutor. Toda a corrente $ I $ está encerrada:
r1 < R
O comprimento do caminho é $ 2\pi r_1 $. Aplicando a Lei de Ampère:
Ienc
Resolvendo para $ B $:
I'

Resposta

(a) A densidade de corrente é $ J = \frac{I}{\pi R^2} $.
(b) A corrente que passa por uma seção com raio $ r < R $ é $ I’ = I \left( \frac{r2}{R2} \right) $.
©
  • Para $ r_1 < R $, o campo magnético é $ B = \frac{\mu_0 I r_1}{2\pi R^2} $.
  • Para $ r_1 > R $, o campo magnético é $ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1} $.

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