Um fio longo, retilíneo e horizontal conduz uma corrente
para o leste. Um próton se move com velocidade
perpendicularmente ao fio, em um ponto situado diretamente acima do fio. (a) Qual deve ser o sentido de
para que a força magnética que atua sobre o próton seja dirigida para o fio? (b) Calcule a distância do fio ao próton, sabendo que
e que a velocidade do próton, relativamente ao fio, é igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre magnetismo e a força que um campo magnético exerce sobre uma partícula carregada. Aqui, temos um fio conduzindo uma corrente para o leste e um próton se movendo perpendicularmente a esse fio. Precisamos descobrir duas coisas:
(a) Qual deve ser a direção da velocidade do próton para que a força magnética o puxe em direção ao fio.
(b) Qual é a distância entre o fio e o próton, dado que a corrente é de 2,5 A e a velocidade do próton é $ v = 4,5 \times 10^{6} , m/s $.
(a) Qual deve ser a direção da velocidade do próton para que a força magnética o puxe em direção ao fio.
(b) Qual é a distância entre o fio e o próton, dado que a corrente é de 2,5 A e a velocidade do próton é $ v = 4,5 \times 10^{6} , m/s $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a força magnética funciona. A força magnética ($ \vec{F} $) sobre uma carga em movimento é dada pela fórmula:
onde:
- $ q $ é a carga do próton,
- $ \vec{v} $ é a velocidade do próton,
- $ \vec{B} $ é o campo magnético gerado pelo fio.
Passo 3
O campo magnético ao redor de um fio retilíneo e longo com corrente $ I $ é dado pela Lei de Ampère:
onde:
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , Tm/A $),
- $ r $ é a distância do ponto ao fio.
A direção desse campo segue a regra da mão direita: se o polegar aponta na direção da corrente, os dedos mostram a direção do campo magnético.
Passo 4
Para a parte (a), queremos que a força magnética ($ \vec{F} $) seja direcionada para o fio. Isso significa que o produto vetorial $ \vec{v} \times \vec{B} $ deve apontar na direção do fio. Vamos analisar as direções:
- A corrente está para o leste, então o campo magnético acima do fio circula para dentro do plano (usando a regra da mão direita).
- Para a força ser direcionada para o fio (isto é, para o sul, se o fio está ao norte do próton), a velocidade do próton deve ser de acordo com a regra do produto vetorial.
Passo 5
Aplicando a regra da mão direita para $ \vec{v} \times \vec{B} $, se queremos que $ \vec{F} $ seja para o sul (em direção ao fio), a velocidade $ \vec{v} $ deve ser para cima (norte). Portanto, a velocidade do próton deve ser direcionada para cima, perpendicularmente ao fio.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Queremos calcular a distância $ r $ entre o fio e o próton. Sabemos que a força magnética que atua sobre o próton também pode ser expressa como:
E igualando as duas expressões para $ F $:
No entanto, como o problema não fornece a aceleração, vamos assumir que estamos apenas relacionando as grandezas. Vamos reorganizar a fórmula para encontrar $ r $:
Mas, na verdade, precisamos de uma relação direta. Considerando que a força magnética será equilibrada por algum outro fator, mas para simplificar, vamos usar a expressão direta do campo magnético e igualar à força desejada.
Passo 7
Vamos reorganizar a fórmula do campo magnético para encontrar $ r $:
Queremos que a força seja direcionada para o fio, então:
Substituindo $ B $:
Agora, precisamos de mais informações para resolver, mas como o exercício não pede para calcular a força, apenas a distância, reorganizamos para $ r $:
Assumindo que estamos resolvendo para $ r $, onde a força desejada é conhecida, mas como não temos $ F $, podemos simplificar ainda mais.
Passo 8
Na verdade, percebemos que precisamos simplesmente expressar $ r $ em termos das outras variáveis. Reorganizando a fórmula original do campo magnético:
Mas ainda precisamos de uma relação que nos permita eliminar $ B $. Como a força precisa ser dirigida ao fio, podemos considerar que a força é a centrípeta necessária para curvar a trajetória do próton:
Então, igualando as duas expressões para $ F $:
Simplificando:
Então, isolando $ r $:
Passo 9
Agora, vamos substituir os valores:
A massa de um próton é:
Substituindo na fórmula:
Passo 10
Simplificando os termos:
No entanto, esse valor é extremamente grande e indica que houve um erro na aplicação das fórmulas. Vamos revisar.
Passo 11
Reavaliando a relação correta para $ r $, já que a força centrípeta equilibra a força magnética:
Sabemos que $ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} $, então substituindo:
Finalmente, isolando $ r $:
Passo 12
Agora, substituindo os valores numéricos:
Simplificando:
Resposta
(a) A velocidade do próton deve ser dirigida para cima, perpendicularmente ao fio.
(b) A distância do fio ao próton é aproximadamente $ 3,06 \times 10^{2} , m $.
(b) A distância do fio ao próton é aproximadamente $ 3,06 \times 10^{2} , m $.