Um fio longo, retilíneo e horizontal conduz uma corrente I para o leste. Um próton se move com velocidade v perpendicularmente ao fio, em um ponto situado diretamente acima do fio. (a) Qual deve ser o sentido de v para que a força magnética que atua sobre o próton seja dirigida para o fio? (b) Calcule a distância do fio ao próton, sabendo que I=2,5 A e que a velocidade do próton, relativamente ao fio, é igual a v=4,5 times 10^6 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre magnetismo e a força que um campo magnético exerce sobre uma partícula carregada. Aqui, temos um fio conduzindo uma corrente para o leste e um próton se movendo perpendicularmente a esse fio. Precisamos descobrir duas coisas:
(a) Qual deve ser a direção da velocidade do próton para que a força magnética o puxe em direção ao fio.
(b) Qual é a distância entre o fio e o próton, dado que a corrente é de 2,5 A e a velocidade do próton é $ v = 4,5 \times 10^{6} , m/s $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a força magnética funciona. A força magnética ($ \vec{F} $) sobre uma carga em movimento é dada pela fórmula:
F
onde:
  • $ q $ é a carga do próton,
  • $ \vec{v} $ é a velocidade do próton,
  • $ \vec{B} $ é o campo magnético gerado pelo fio.

Passo 3

O campo magnético ao redor de um fio retilíneo e longo com corrente $ I $ é dado pela Lei de Ampère:
I
onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , Tm/A $),
  • $ r $ é a distância do ponto ao fio.
A direção desse campo segue a regra da mão direita: se o polegar aponta na direção da corrente, os dedos mostram a direção do campo magnético.

Passo 4

Para a parte (a), queremos que a força magnética ($ \vec{F} $) seja direcionada para o fio. Isso significa que o produto vetorial $ \vec{v} \times \vec{B} $ deve apontar na direção do fio. Vamos analisar as direções:
  • A corrente está para o leste, então o campo magnético acima do fio circula para dentro do plano (usando a regra da mão direita).
  • Para a força ser direcionada para o fio (isto é, para o sul, se o fio está ao norte do próton), a velocidade do próton deve ser de acordo com a regra do produto vetorial.

Passo 5

Aplicando a regra da mão direita para $ \vec{v} \times \vec{B} $, se queremos que $ \vec{F} $ seja para o sul (em direção ao fio), a velocidade $ \vec{v} $ deve ser para cima (norte). Portanto, a velocidade do próton deve ser direcionada para cima, perpendicularmente ao fio.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Queremos calcular a distância $ r $ entre o fio e o próton. Sabemos que a força magnética que atua sobre o próton também pode ser expressa como:
r
E igualando as duas expressões para $ F $:
F = q v B
No entanto, como o problema não fornece a aceleração, vamos assumir que estamos apenas relacionando as grandezas. Vamos reorganizar a fórmula para encontrar $ r $:
F
Mas, na verdade, precisamos de uma relação direta. Considerando que a força magnética será equilibrada por algum outro fator, mas para simplificar, vamos usar a expressão direta do campo magnético e igualar à força desejada.

Passo 7

Vamos reorganizar a fórmula do campo magnético para encontrar $ r $:
r
Queremos que a força seja direcionada para o fio, então:
B = mu0 I2pi r
Substituindo $ B $:
F = q v B
Agora, precisamos de mais informações para resolver, mas como o exercício não pede para calcular a força, apenas a distância, reorganizamos para $ r $:
B
Assumindo que estamos resolvendo para $ r $, onde a força desejada é conhecida, mas como não temos $ F $, podemos simplificar ainda mais.

Passo 8

Na verdade, percebemos que precisamos simplesmente expressar $ r $ em termos das outras variáveis. Reorganizando a fórmula original do campo magnético:
r
Mas ainda precisamos de uma relação que nos permita eliminar $ B $. Como a força precisa ser dirigida ao fio, podemos considerar que a força é a centrípeta necessária para curvar a trajetória do próton:
r = mu0 I2pi v B
Então, igualando as duas expressões para $ F $:
B
Simplificando:
F = m v^2r
Então, isolando $ r $:
F

Passo 9

Agora, vamos substituir os valores:
mu0 = 4pi times 10^-7 , Tm/A
I = 2,5 , A
v = 4,5 times 10^6 , m/s
A massa de um próton é:
m = 1,67 times 10^-27 , kg
Substituindo na fórmula:
r = 4pi times 10^-7 times 2,52pi times 1,67 times 10^-27 times 4,5 times 10^6

Passo 10

Simplificando os termos:
r = 4 times 10^-7 times 2,52 times 1,67 times 4,5 times 10^-21
r = 10^-615,03 times 10^-21 = 10^-61,503 times 10^-20 approx 6,66 times 10^13 , m
No entanto, esse valor é extremamente grande e indica que houve um erro na aplicação das fórmulas. Vamos revisar.

Passo 11

Reavaliando a relação correta para $ r $, já que a força centrípeta equilibra a força magnética:
r
Sabemos que $ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} $, então substituindo:
q v B = m v^2r Rightarrow r = m vq B
Finalmente, isolando $ r $:
B = mu0 I2pi r

Passo 12

Agora, substituindo os valores numéricos:
r = raiz 2pi times 1,67 times 10^-27 times 4,5 times 10^61,6 times 10^-19 times 4pi times 10^-7 times 2,5
Simplificando:
r = raiz 2 times 1,67 times 4,5 times 10^-211,6 times 4 times 2,5 times 10^-26 = raiz 15,03 times 10^-2116 times 10^-26 = raiz 15,0316 times 10^5 approx raiz 0,939 times 10^5 approx raiz 93900 approx 306 , m

Resposta

(a) A velocidade do próton deve ser dirigida para cima, perpendicularmente ao fio.
(b) A distância do fio ao próton é aproximadamente $ 3,06 \times 10^{2} , m $.

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