Considere um sistema composto por duas partículas de massa unitária, cujos respectivos vetores posição e velociade num dado instante t são dados por:
r1=2 x+y+3 z ; v1=-2 x+4 y+z
r2=-3 x+2 y-2 z ; v2=x+4 y+2 z
Calcule:
A energia cinética do sistema em relação ao centro de massa.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos duas partículas de massa unitária (ou seja, ) com posições e velocidades dadas em função de . A gente precisa encontrar a energia cinética total do sistema no referencial do centro de massa.
Conteúdo da matéria: mecânica clássica – transformações de referenciais e energia cinética.
O que vamos precisar:
  1. A velocidade do centro de massa, .
  2. As velocidades relativas das partículas (subtrair das velocidades originais).
  3. A fórmula da energia cinética de cada partícula e somar tudo.

Passo 2

Calcular a velocidade do centro de massa.
A fórmula geral é
vec Vrm CM = 1Msumi mi,vec vi, M = sumi mi
Aqui vec Vrm CM = vec v1 + vec v22 = (-2,,4,,1) + (1,,4,,2)2 = (-2+1,,4+4,,1+2)2 = (-1,,8,,3)2 = l(-0.5,,4,,1.5r) , e como as massas são iguais:

Passo 3

Agora a gente encontra as velocidades relativas (ou seja, no referencial do CM):
vec v'1 = vec v1 - vec Vrm CM, vec v'2 = vec v2 - vec Vrm CM
Então:
vec v'1 = (-2,4,1) - (-0.5,4,1.5) = l(-2 + 0.5,;4-4,;1-1.5r) = l(-1.5,,0,,-0.5r),
vec v'2 = (1,4,2) - (-0.5,4,1.5) = l(1 + 0.5,;4-4,;2-1.5r) = l(1.5,,0,,0.5r)

Passo 4

Vem a parte da energia cinética no CM. Cada partícula tem
Ti = 12,mi,lvert vec v'irvert^2
Como lvert vec v'1rvert^2 = (-1.5)^2 + 0^2 + (-0.5)^2 = 2.25 + 0 + 0.25 = 2.5 ;Longrightarrow; T1 = tfrac12 times 1 times 2.5 = 1.25 , basta calcular lvert vec v'2rvert^2 = 2.5 ;Longrightarrow; T2 = 1.25 e multiplicar por Trm total = T1 + T2 = 1.25 + 1.25 = 2.5 .
Para a partícula 1:
Para a partícula 2, dá o mesmo valor (porque só é o oposto de em magnitude):
A energia cinética total no CM é

Resposta

A energia cinética do sistema em relação ao centro de massa é (unidades de energia).

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