Um corpo de massa m move-se sob a ação de seu peso ( -m g y ) na direção vertical, e ainda sob a ação de uma força resistiva na direção horizontal, proporcional apenas à componente horizontal da sua velocidade, Fr=-m gamma dotx x, onde gamma é uma constante. Se em t=0, o corpo é lançado da origem com velocidade vcirc=v1 x+v2 y, calcule:
(a) O vetor posição do corpo em função do tempo, r(t)=x(t) x+y(t) y.
(b) O valor de x o instante em que o corpo volta à posição vertical y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que cai na matéria. A gente tem um corpo de massa m que sofre duas forças:
  1. o peso vertical vec P = -,m g,hat y
  2. uma força resistiva só na direção x, dada por vec Fr = -,m,gamma,dot x,hat x,
No tempo t=0 ele parte da origem com vec v(0)=v1,hat x+v2,hat y,
Conteúdo: cinemática com ODEs (equações diferenciais) de 1ª e 2ª ordem. Vamos precisar montar as equações de movimento em cada eixo, resolver essas ODEs e depois achar o instante em que y=0 de novo para calcular x ali.

Passo 2

Resolver a parte horizontal ( x).
A 2ª lei de Newton em x diz
m,ddot x = -,m,gamma,dot xLongrightarrow ddot x + gamma,dot x = 0,
Teoria aplicada: essa é uma ODE linear homogênea de coeficientes constantes. Um macete é definir vx=dot x, aí vira
dot vx + gamma,vx = 0,
Essa é separável:
d vxvx = -gamma,dtLongrightarrow vx(t)=v1,e^-gamma t
(usamos vx(0)=v1). Agora integramos de novo pra achar x(t):
$$x(t)=\int_0^t v_x(t’),dt’=\int_0^t v_1,e^{-\gamma t’}dt’
= \frac{v_1}{\gamma}\bigl(1-e^{-\gamma t}\bigr),. $$

Passo 3

Resolver a parte vertical ( y).
A equação é bem direta:
m,ddot y = -m,gLongrightarrow ddot y = -g,
Integrando uma vez, usando ,dot y(0)=v2,,
dot y(t)=v2 - g,t,
Integrando de novo, com y(0)=0,
y(t)=v2,t - 12,g,t^2,

Passo 4

Achar o instante em que y=0 de novo (além de t=0).
A gente resolve
v2,t - tfrac12,g,t^2=0Longrightarrow tl(v2 - tfrac12,g,tr)=0,
A solução não-trivial é
trm vo

Passo 5

Agora joga esse trm vo na expressão de x(t) pra achar x quando y=0 de novo:
$$x\bigl(t_{\rm volta}\bigr)
= \frac{v_1}{\gamma}\Bigl(1 - e^{-\gamma,(2v_2/g)}\Bigr),. $$

Resposta

(a) O vetor posição é
vec r(t) = x(t),hat x + y(t),hat y = v1gammal(1 - e^-gamma tr),hat x ;+;l(v2,t - tfrac12,g,t^2r),hat y,
(b) Quando o corpo volta a y=0 (além de t=0), o instante é t=2v2/g e aí
x = v1gammal(1 - e^-,2gamma,v2gr),

Exercícios relacionados