Um corpo de massa
move-se sob a ação de seu peso (
) na direção vertical, e ainda sob a ação de uma força resistiva na direção horizontal, proporcional apenas à componente horizontal da sua velocidade,
, onde
é uma constante. Se em
, o corpo é lançado da origem com velocidade
, calcule:
(a) O vetor posição do corpo em função do tempo,
.
(b) O valor de
o instante em que o corpo volta à posição vertical
.
(a) O vetor posição do corpo em função do tempo,
(b) O valor de
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que cai na matéria. A gente tem um corpo de massa
que sofre duas forças:
- o peso vertical
- uma força resistiva só na direção
, dada por
No tempo
ele parte da origem com
Conteúdo: cinemática com ODEs (equações diferenciais) de 1ª e 2ª ordem. Vamos precisar montar as equações de movimento em cada eixo, resolver essas ODEs e depois achar o instante em que de novo para calcular
ali.
Conteúdo: cinemática com ODEs (equações diferenciais) de 1ª e 2ª ordem. Vamos precisar montar as equações de movimento em cada eixo, resolver essas ODEs e depois achar o instante em que
Passo 2
Resolver a parte horizontal (
).
A 2ª lei de Newton em diz
A 2ª lei de Newton em
Teoria aplicada: essa é uma ODE linear homogênea de coeficientes constantes. Um macete é definir
Essa é separável:
(usamos
$$x(t)=\int_0^t v_x(t’),dt’=\int_0^t v_1,e^{-\gamma t’}dt’
= \frac{v_1}{\gamma}\bigl(1-e^{-\gamma t}\bigr),. $$
Passo 3
Resolver a parte vertical (
).
A equação é bem direta:
A equação é bem direta:
Integrando uma vez, usando
Integrando de novo, com
,
Passo 4
Achar o instante em que
de novo (além de
).
A gente resolve
A gente resolve
A solução não-trivial é
Passo 5
Agora joga esse
na expressão de
pra achar
quando
de novo:
$$x\bigl(t_{\rm volta}\bigr)
= \frac{v_1}{\gamma}\Bigl(1 - e^{-\gamma,(2v_2/g)}\Bigr),. $$
Resposta
(a) O vetor posição é
(b) Quando o corpo volta a
(além de
), o instante é
e aí