Considere o sistema composto por duas placas planas infinitas, horizontais e paralelas, a inferior estacionária e a superior movendo-se com uma velocidade U. A distância entre as placas é a e o sistema está sujeito a um gradiente de pressão. Aplicar a equação de Navier-Stokes para a direção do escoamento, considerado laminar, justificando cada simplificação. Deduzir expressões para o perfil de velocidade do escoamento, a altura onde a velocidade é máxima, distribuição das tensões de cisalhamento, vazão volumétrica e velocidade média. Considerar a origem dos eixos na placa inferior. R:
Passo 1
O problema trata de um escoamento laminar e steady entre duas placas planas paralelas e infinitas separadas por distância
, em que a placa inferior está fixa e a superior se move com velocidade
. Há ainda um gradiente de pressão constante
. Precisamos aplicar a equação de Navier–Stokes na direção
, usando simplificações adequadas, e deduzir: perfil de velocidade
, posição de
, tensão de cisalhamento
, vazão
e velocidade média
.
Passo 2
Aplicamos a Navier–Stokes em
na forma 2D, steady e totalmente desenvolvido. As simplificações são: (i)
, (ii)
, (iii)
, (iv) gradiente de pressão uniforme
, sem efeitos gravitacionais. Isso reduz a equação a:
Passo 3
Integramos duas vezes em
. Primeiro:
Passo 4
Depois, integrou-se de novo:
Passo 5
Aplicamos as condições de contorno:
dá
e
leva a
Passo 6
Com isso o perfil de velocidade final é:
Passo 7
Para achar onde
é máximo, impomos
:
Passo 8
A tensão de cisalhamento
satisfaz:
Passo 9
A vazão por unidade de largura (ângulo da placa =
em out-of-plane) é
Passo 10
E a velocidade média é