Considere o sistema composto por duas placas planas infinitas, horizontais e paralelas, a inferior estacionária e a superior movendo-se com uma velocidade U. A distância entre as placas é a e o sistema está sujeito a um gradiente de pressão. Aplicar a equação de Navier-Stokes para a direção do escoamento, considerado laminar, justificando cada simplificação. Deduzir expressões para o perfil de velocidade do escoamento, a altura onde a velocidade é máxima, distribuição das tensões de cisalhamento, vazão volumétrica e velocidade média. Considerar a origem dos eixos na placa inferior. R: U mua-a2 partial Ppartial x ; Q=U a2 L-L a^312 mu partial Ppartial x ; baru=U2-a^312 mu partial Ppartial xá

Passo 1

O problema trata de um escoamento laminar e steady entre duas placas planas paralelas e infinitas separadas por distância a, em que a placa inferior está fixa e a superior se move com velocidade U. Há ainda um gradiente de pressão constante partial P/partial x. Precisamos aplicar a equação de Navier–Stokes na direção x, usando simplificações adequadas, e deduzir: perfil de velocidade u(y), posição de umax, tensão de cisalhamento tauyx(y), vazão Q e velocidade média bar u.

Passo 2

Aplicamos a Navier–Stokes em x na forma 2D, steady e totalmente desenvolvido. As simplificações são: (i) partial/partial t=0, (ii) v=0,;w=0, (iii) partial u/partial x=0, (iv) gradiente de pressão uniforme partial P/partial x=const, sem efeitos gravitacionais. Isso reduz a equação a:
0 = -partial Ppartial x + mud^2udy^2

Passo 3

Integramos duas vezes em y. Primeiro:
d^2udy^2 = 1mupartial Ppartial x Longrightarrow dudy = 1mupartial Ppartial xy + C1

Passo 4

Depois, integrou-se de novo:
u(y)=u(y)=12mupartial Ppartial xy^2 + C1 y + C2

Passo 5

Aplicamos as condições de contorno: u(0)=0 C2=0 e u(a)=U leva a
C1 = U - 12mupartial Ppartial xa^2a

Passo 6

Com isso o perfil de velocidade final é:
u(y)=12mupartial Ppartial xy^2 + yal(U - 12mupartial Ppartial xa^2r)

Passo 7

Para achar onde u é máximo, impomos du/dy=0:
dudy = 1mupartial Ppartial xy + C1 = 0 Longrightarrow yumax = -mu C1partial Ppartial x = a2 - mu Ua,partial Ppartial x

Passo 8

A tensão de cisalhamento tauyx=mu,du/dy satisfaz:
tauyx(y) = mul(1mupartial Ppartial xy + C1r) = partial Ppartial xy + muUa - a2partial Ppartial x

Passo 9

A vazão por unidade de largura (ângulo da placa = L em out-of-plane) é
Q = Lintegral0^a u(y),dy = Ll(Ua2 - a^312mupartial Ppartial xr)

Passo 10

E a velocidade média é
bar u = QaL = U2 - a^212mupartial Ppartial x

Resposta

u(y)=12mupartial Ppartial xy^2+yal(U-12mupartial Ppartial xa^2r); yumax=a2-mu Ua,partial Ppartial x; tauyx(y)=partial Ppartial xy+muUa-a2partial Ppartial x; Q=Ll(Ua2-a^312mupartial Ppartial xr); bar u=U2-a^212mupartial Ppartial x

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