Verifique se a série é absolutamente convergente. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n sen \frac{1}{n}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n \sin\!\left(\frac{1}{n}\right)
é absolutamente convergente.
Informações dadas: a soma é sobre n=1,2,\dots e o termo geral é (-1)^{n} n \sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
Passo 2
Lembrete didático: uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série dos módulos \sum |a_n| converge. Aqui temos
|a_n|=\left|(-1)^{n} n \sin\!\left(\frac{1}{n}\right)\right|=n\left|\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)\right|.
Uma ferramenta útil (teste necessário) é: se \sum |a_n| converge então o termo geral |a_n| deve tender a 0. Logo, se \lim_{n\to\infty}|a_n|\neq0, a série \sum |a_n| diverge e, portanto, não há convergência absoluta.
(Um argumento curto: para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale \cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1; fazendo x\to0 ambas as extremidades tendem a 1, então o quociente tende a 1.)
Como o limite dos termos absolutos é 1\neq0, a série dos módulos \sum_{n=1}^{\infty} n\left|\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)\right| não pode convergir (necessariamente diverge).
Passo 5
Conclusão didática final: a série não é absolutamente convergente porque a série dos módulos tem termos que não tendem a zero (tendem a 1), e portanto diverge.