Considere um sistema conservativo
. Neste caso, temos
(a) Faça uma Transformada de Legendre na ação
com o intuito de eliminar a variável
. Ou seja, mostre que a nova função
obtida tem a forma:
e mostre que
(b) Substitua a forma (2) de
em (3) e use o resultado acima para mostrar que
Passo 1
O enunciado trata da função–ação de Hamilton–Jacobi para um sistema conservativo com Hamiltoniana
. Sabemos que a ação principal pode ser escrita como
onde
é a parte dependente apenas das coordenadas cíclicas e
é a constante de energia. O objetivo é (a) realizar a transformada de Legendre em relação à variável
para obter uma nova função
e mostrar as propriedades
,
; e (b) usar isso para provar que
.
Passo 2
Para eliminar a variável
fazemos a transformada de Legendre de
trocando o par
pelo par
. Por definição, a transformada de Legendre em
é
Mas como
, obtemos
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de
:
- Derivando em relação a
, com fixo e lembrando que é independente de ,
- Derivando em relação a
, com fixo, e usando que ,
Porém, na definição da transformada de Legendre tomamos
sem contar o
, de modo que a relação consistente é
Passo 4
Para provar
, substituímos
em
:
Como
não depende de
explicitamente, temos