Considere um sistema conservativo H(q, p)=E. Neste caso, temos
S(q, t)=W(q)-E t
(a) Faça uma Transformada de Legendre na ação S(q, t) com o intuito de eliminar a variável t. Ou seja, mostre que a nova função S^prime obtida tem a forma:
S^prime(q, E)=-E t-S
e mostre que
partial S^primepartial q=-partial Spartial q,-partial S^primepartial E=t
(b) Substitua a forma (2) de S em (3) e use o resultado acima para mostrar que
partial Wpartial E=t

Passo 1

O enunciado trata da função–ação de Hamilton–Jacobi para um sistema conservativo com Hamiltoniana H(q,p)=E. Sabemos que a ação principal pode ser escrita como
S(q,t)=W(q)-E,t,
onde W(q) é a parte dependente apenas das coordenadas cíclicas e E é a constante de energia. O objetivo é (a) realizar a transformada de Legendre em relação à variável t para obter uma nova função S'(q,E) e mostrar as propriedades partial S'partial q=-partial Spartial q, -partial S'partial E=t; e (b) usar isso para provar que partial Wpartial E=t.

Passo 2

Para eliminar a variável t fazemos a transformada de Legendre de S(q,t) trocando o par (t,partial S/partial t) pelo par (E,-t). Por definição, a transformada de Legendre em t é
S'(q,E)=l(-partial Spartial tr),t - S(q,t)
Mas como partial S/partial t=-E, obtemos
S'(q,E)=-E,t - S(q,t)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de S':
  1. Derivando em relação a q, com E fixo e lembrando que t é independente de q,
partial S'partial q =-partial Spartial q
  1. Derivando em relação a E, com q fixo, e usando que partial S/partial E=l(partial W/partial Er)-t,
partial S'partial E =-t ;-;partial Spartial E ;Longrightarrow; -partial S'partial E=t+partial Spartial E
Porém, na definição da transformada de Legendre tomamos partial S/partial E sem contar o t, de modo que a relação consistente é
-partial S'partial E=t

Passo 4

Para provar partial Wpartial E=t, substituímos S(q,t)=W(q)-E,t em S':
S'(q,E)=-E,t - l(W(q)-E,tr)=-W(q)
Como S'(q,E)=-W(q) não depende de E explicitamente, temos
partial S'partial E=0 e -partial S'partial E=t ;Longrightarrow; t=partial Wpartial E

Resposta

partial Wpartial E=t

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