Como vimos, a mecânica clássica de um sistema pode ser determinado através do princípio da mínima ação, i.e., através da variação funcional da ação. Isso também é válido em Relatividade. Ou seja, deve ser possível encontrar uma ação que forneça as expressões da Mecânica Relativística. Obviamente, assim como as equações de movimento da Mecânica Clássica são invariantes por transformações de Galileu, as obtidas pela ação Relativística devem ser invariante por transformações de Lorentz. Uma forma de se garantir isso é exigindo que na ação apareçam apenas invariantes (ou escalares). O primeiro invariante que temos em relatividade é o elemento de comprimento
Assim, a ação invariante mais simples que podemos construir para a Mecânica Relativística é
onde
é uma constante. Lembrando que a ação está relacionada com a lagrangiana
através da expressão
(a) Obtenha a Lagrangeana da ação (1).
(b) Em seguida, expanda esta lagrangena em termos de
e, mantendo apenas termos de segunda ordem (e lembrando que uma constante não afeta as equações do movimento) e comparando com a lagrangeana clássica para a partícula livre
determine quem é
.
(b) Em seguida, expanda esta lagrangena em termos de
Passo 1
O enunciado pede para partir da ação relativística
e escrevê-la como
ou seja, encontrar a lagrangiana
. Em seguida devemos expandir
em série de
até termos de segunda ordem e, comparando com a lagrangiana clássica
determinar o valor de
.
Passo 2
Para uma partícula movendo-se com velocidade
temos o elemento de linha
onde
é o tempo próprio. Logo
e, como
, obtemos
Passo 3
Expandindo a raiz para
até segunda ordem, usamos
de modo que
Como um termo constante
não altera as equações de movimento, podemos descartá-lo e ficar com
Passo 4
Comparando com
vemos que deve valer
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)