Como vimos, a mecânica clássica de um sistema pode ser determinado através do princípio da mínima ação, i.e., através da variação funcional da ação. Isso também é válido em Relatividade. Ou seja, deve ser possível encontrar uma ação que forneça as expressões da Mecânica Relativística. Obviamente, assim como as equações de movimento da Mecânica Clássica são invariantes por transformações de Galileu, as obtidas pela ação Relativística devem ser invariante por transformações de Lorentz. Uma forma de se garantir isso é exigindo que na ação apareçam apenas invariantes (ou escalares). O primeiro invariante que temos em relatividade é o elemento de comprimento
d s^2=etamu nu d x^mu d x^nu=(d x^i)^2-c^2 d t^2
Assim, a ação invariante mais simples que podemos construir para a Mecânica Relativística é
S=alpha integral d s
onde alpha é uma constante. Lembrando que a ação está relacionada com a lagrangiana L através da expressão
S=integral L d t:
(a) Obtenha a Lagrangeana da ação (1).
(b) Em seguida, expanda esta lagrangena em termos de v / c e, mantendo apenas termos de segunda ordem (e lembrando que uma constante não afeta as equações do movimento) e comparando com a lagrangeana clássica para a partícula livre
L=12 m dotx^2,
determine quem é alpha.

Passo 1

O enunciado pede para partir da ação relativística
S=alphaintegral ds
e escrevê-la como
S=integral L,dt,
ou seja, encontrar a lagrangiana L. Em seguida devemos expandir L em série de v/c até termos de segunda ordem e, comparando com a lagrangiana clássica
Lrm cl=tfrac12,mdot x^2,
determinar o valor de alpha.

Passo 2

Para uma partícula movendo-se com velocidade v temos o elemento de linha
ds=c,dtau,
onde
dtau=dtraiz1-v^2c^2
é o tempo próprio. Logo
ds=c,dtraiz1-v^2c^2
e, como L= alpha,dsdt, obtemos
L=alpha,craiz1-v^2c^2

Passo 3

Expandindo a raiz para beta=v/cll1 até segunda ordem, usamos
raiz1-beta^2approx 1-tfrac12beta^2,
de modo que
Lapprox alpha,cl(1-tfrac12v^2c^2r) =alpha,c-alpha2c,v^2
Como um termo constante alpha,c não altera as equações de movimento, podemos descartá-lo e ficar com
Lapprox -alpha2c,v^2

Passo 4

Comparando com
Lrm cl=tfrac12,m,v^2,
vemos que deve valer
-alpha2c= m2 Longrightarrow alpha=-m,c

Resposta

(a) L=alpha,craiz1-v^2c^2.
(b) alpha=-m,c.

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