(a) Escreva a equação de Hamilton-Jacob para um oscilador harmônico de massa
e freqüência
.
(b) Usando que a energia do sistema se conserva, mostre que
onde
(c) Depois mostre que
(d) Use a equação (4) para resolver a equação do movimento. Ou seja resolva a integral
isole
e encontre
.
(b) Usando que a energia do sistema se conserva, mostre que
Passo 1
O enunciado trata do oscilador harmônico de massa
e frequência
. Vamos usar o formalismo de Hamilton–Jacobi, cujo objetivo é encontrar a função de ação
que satisfaz a equação de Hamilton–Jacobi. Precisaremos da energia conservada
e do ansatz de separação de variáveis para
.
Passo 2
Escrevemos a equação de Hamilton–Jacobi
No nosso caso
Passo 3
Para separar variáveis, adotamos
de modo que
. Substituindo na equação de Hamilton–Jacobi, obtemos
Passo 4
Extraímos a raiz e integramos para
:
Isto mostra (corrigindo o enunciado, que omitiu a raiz)
Passo 5
Diferenciando
em relação a
, sob o sinal de integração, temos
o que coincide com a expressão pedida.
Passo 6
Na teoria de Hamilton–Jacobi,
. Assim
(ajustando a constante de integração para zero). Para resolver essa integral, fazemos a substituição
Então o denominador fica
e a integral torna-se
Logo
e, voltando à variável
, temos
onde
é uma fase determinada pelas condições iniciais.
Resposta
(a)
\n(b)
\n(c)
\n(d)