(a) Escreva a equação de Hamilton-Jacob para um oscilador harmônico de massa m e freqüência omega.
(b) Usando que a energia do sistema se conserva, mostre que
W=integral(2 m E-m^2 omega^2 x^2) d x
onde
S(x, t)=W(x)+E t
(c) Depois mostre que
partial Wpartial E=integral m(2 m E-m^2 omega^2 x^2)^1 / 2 d x
(d) Use a equação (4) para resolver a equação do movimento. Ou seja resolva a integral
t=integral m(2 m E-m^2 omega^2 x^2)^1 / 2 d x
isole x e encontre x(t).

Passo 1

O enunciado trata do oscilador harmônico de massa m e frequência omega. Vamos usar o formalismo de Hamilton–Jacobi, cujo objetivo é encontrar a função de ação S(x,t) que satisfaz a equação de Hamilton–Jacobi. Precisaremos da energia conservada
H = p^22m + 12,m,omega^2 x^2 = E
e do ansatz de separação de variáveis para S(x,t).

Passo 2

Escrevemos a equação de Hamilton–Jacobi
Hl(x,;p=tfracpartial Spartial xr);+;partial Spartial t;=;0
No nosso caso
12ml(partial Spartial xr)^2 ;+;12momega^2x^2 ;+;partial Spartial t ;=;0

Passo 3

Para separar variáveis, adotamos
S(x,t);=;W(x);-;E,t,
de modo que partial S/partial t=-E. Substituindo na equação de Hamilton–Jacobi, obtemos
12ml(dWdxr)^2 ;+;12momega^2x^2 ;-;E ;=;0 Longrightarrow l(dWdxr)^2 =2mE - m^2omega^2x^2

Passo 4

Extraímos a raiz e integramos para W(x):
dWdx =pmraiz,2mE - m^2omega^2x^2, Longrightarrow W(x) =integral raiz,2mE - m^2omega^2x^2,;dx
Isto mostra (corrigindo o enunciado, que omitiu a raiz)
W(x)=integral raiz2mE - m^2omega^2x^2;dx

Passo 5

Diferenciando W em relação a E, sob o sinal de integração, temos
partial Wpartial E =integral partialpartial El[raiz2mE - m^2omega^2x^2r];dx =integral mraiz,2mE - m^2omega^2x^2,;dx,
o que coincide com a expressão pedida.

Passo 6

Na teoria de Hamilton–Jacobi, partial W/partial E = t + const. Assim
t =integral mraiz2mE - m^2omega^2x^2;dx
(ajustando a constante de integração para zero). Para resolver essa integral, fazemos a substituição
x = raiz2Emomega^2,sintheta, dx = raiz2Emomega^2,costheta;dtheta
Então o denominador fica
raiz2mE - m^2omega^2x^2 = raiz2mE - m^2omega^2,2Emomega^2sin^2theta = raiz2mE,costheta
e a integral torna-se
t =integral mraiz2mE,costheta ;l(raiztfrac2Emomega^2costheta,dthetar) =mraiz2mE;raiz2Emomega^2 integral dtheta =1omega,theta
Logo theta=omega t e, voltando à variável x, temos
x(t) =raiz2Emomega^2,sin(omega t+varphi),
onde varphi é uma fase determinada pelas condições iniciais.

Resposta

(a) 12ml(partialx Sr)^2+tfrac12momega^2x^2+partialt S=0\n(b) W(x)=integral raiz2mE - m^2omega^2x^2;dx\n(c) partial Wpartial E=integral mraiz2mE - m^2omega^2x^2;dx\n(d) x(t)=raiz2Emomega^2,sin(omega t+varphi)

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