Uma conta (miçanguinha) de massa m pode se mover livremente numa barra rígida e reta que gira com velocidade constante omega.
(a) Escreva a Lagrangiana do sistema;
(b) Escreva a equação do movimento da conta.

Passo 1

O enunciado descreve uma miçanguinha de massa m que desliza sem atrito ao longo de uma barra rígida, reta, que gira no plano horizontal com velocidade angular constante omega.
Conteúdo: Lagrangeanos em coordenadas generalizadas.
O que precisamos: escolher a coordenada r (distância radial do centro de rotação) como única coordenada dinâmica, sabendo que o ângulo da barra é varphi(t)=omega t.

Passo 2

Escrevemos a energia cinética em coordenadas polares (no referencial inercial):
T = tfrac12,ml(dot r^2 + r^2,dotvarphi^2r)
Como varphi(t)=omega t, temos dotvarphi=omega. Não há potencial gravitacional relevante (plano horizontal), logo
V=0

Passo 3

A Lagrangiana é
L = T - V = tfrac12,ml(dot r^2 + r^2,omega^2r)

Passo 4

Aplicamos a equação de Euler–Lagrange em r:
ddtl(partial Lpartialdot rr) - partial Lpartial r = 0
Calculamos
partial Lpartialdot r=m,dot r,
ddt(m,dot r)=m,ddot r,
partial Lpartial r=m,r,omega^2.
Logo
m,ddot r - m,omega^2,r = 0 Longrightarrow ddot r - omega^2,r = 0

Resposta

(a) L = tfrac12,ml(dot r^2 + r^2,omega^2r)
(b) ddot r - omega^2,r = 0

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