Considere um sistema consistindo de uma partícula de massa
sujeita a um potencial
a)
Apresente a equação de Schroedinger para o sistema;
b) (1,5) Suponha que
e
. Mostre a solução geral para
;
c)
Agora, considere o potencial delta:
.
Onde
é uma constante positiva e
é a função delta de Dirac. Encontre o autoestado ligado
e a autoenergia
correspondente.
Dados:
b) (1,5) Suponha que
c)
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de massa
num potencial
.
Conteúdo:
– Equação de Schr"odinger dependente do tempo.
– Separação de variáveis para potencial independente do tempo.
– Solução temporal.
– Estado ligado e energia para o potencial delta unidimensional .
Conteúdo:
– Equação de Schr"odinger dependente do tempo.
– Separação de variáveis para potencial independente do tempo.
– Solução temporal.
– Estado ligado e energia para o potencial delta unidimensional
Passo 2
A equação de Schr"odinger dependente do tempo é dada por
Passo 3
Para
fazemos
. Substituindo e dividindo por
obtemos
A equação temporal fica
cuja solução geral é
Passo 4
Agora com
buscamos estados ligados (
). Fora de
vale
escrevendo
(com
) temos
e a solução que decai em
é
Passo 5
Aplicando as condições no ponto
:
– Continuidade: .
– Discontinuidade da derivada pela delta:
– Continuidade:
– Discontinuidade da derivada pela delta:
Como
e
, igualamos
logo
Passo 6
A energia ligada é
Para normalizar
, usamos
,
logo . Portanto
logo
Resposta
a)
b)
c)