Considere um sistema consistindo de uma partícula de massa m sujeita a um potencial
V(r, t)
a) (0,5) Apresente a equação de Schroedinger para o sistema;
b) (1,5) Suponha que V(r, t)=V(r) e Psi(r, t)=psi(r) cdot phi(t). Mostre a solução geral para phi(t);
c) (3,0) Agora, considere o potencial delta: V(r)=V(x)=-alpha de<a(x).
Onde alpha é uma constante positiva e de<a(x) é a função delta de Dirac. Encontre o autoestado ligado [psi(x)] e a autoenergia [E] correspondente.
Dados: integral0^infty x^n e^-xa d x=n!a^n+1

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m num potencial V(r,t).
Conteúdo:
– Equação de Schr"odinger dependente do tempo.
– Separação de variáveis para potencial independente do tempo.
– Solução temporal.
– Estado ligado e energia para o potencial delta unidimensional V(x)=-alphade<a(x).

Passo 2

A equação de Schr"odinger dependente do tempo é dada por
ihbar,partialpartial tPsi(r,t) = gl(-hbar^22mnabla^2 + V(r,t)gr),Psi(r,t)

Passo 3

Para V(r,t)=V(r) fazemos Psi(r,t)=psi(r),phi(t). Substituindo e dividindo por psiphi obtemos
ihbar,1phi,dphidt = -hbar^22m,nabla^2psipsi+V(r) =E
A equação temporal fica
dphidt=-iEhbar,phi
cuja solução geral é
phi(t)=e^-tfraciEhbart

Passo 4

Agora com V(x)=-alphade<a(x) buscamos estados ligados ( E<0). Fora de x=0 vale
-hbar^22m,psi''(x)=E,psi(x)
escrevendo E=-hbar^2kappa^22m (com kappa>0) temos
psi''(x)=kappa^2,psi(x)
e a solução que decai em pminfty é
psi(x)=A,e^-kappa|x|

Passo 5

Aplicando as condições no ponto x=0:
– Continuidade: psi(0^+)=psi(0^-)=A.
– Discontinuidade da derivada pela delta:
psi'(0^+)-psi'(0^-)=-2malphahbar^2,psi(0)
Como psi'(0^+)=-kappa A e psi'(0^+)-psi'(0^-)=-2kappa A, igualamos
-2kappa A=-2malphahbar^2A
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kappa=malphahbar^2

Passo 6

A energia ligada é
E=-hbar^2kappa^22m =-malpha^22hbar^2
Para normalizar psi, usamos
integral-infty^infty|psi|^2dx =2A^2integral0^inftye^-2kappa xdx =2A^212kappa=1,
logo A=raizkappa. Portanto
psi(x)=raizkappa,e^-kappa|x| com kappa=malphahbar^2

Resposta

a)
ihbar,partialpartial tPsi(r,t) = l(-tfrachbar^22mnabla^2+V(r,t)r)Psi(r,t)
b)
phi(t)=e^-tfraciEhbart
c)
psi(x)=raizkappa,e^-kappa|x|, E=-malpha^22hbar^2, kappa=malphahbar^2

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