1. Considere um sistema de coordenadas O barx, O bary e O barz determinado pela origem e pelos pontos A(1,-1,1), B(2,1,-1) e C(0,1,1). Descreva a superfície S: 5 x^2+y^2+z^2+2 x y-2 x z-6 y z+8=0 nesse sistema de coordenadas e identifique-a. (resp.: o hiperboloide 3 barx^2+6 bary^2-2 barz^2+8=0 )

Passo 1

O enunciado dá a superfície
S:;5x^2+y^2+z^2+2xy-2xz-6yz+8=0
no sistema de coordenadas canônico (x,y,z) e pede sua descrição no novo sistema (bar x,bar y,bar z) cujos eixos são determinados pelos vetores
A=(1,-1,1), B=(2,1,-1), C=(0,1,1)
Como se trata de uma forma quadrática, vamos montar sua matriz simétrica, diagonalizá-la encontrando autovalores e autovetores, e ver que exatamente A,B,C são autovetores. Em seguida escrevemos S em coordenadas próprias (bar x,bar y,bar z).

Passo 2

A forma quadrática tem matriz
Q= 5 & 1 & -1 1 & 1 & -3 -1&-3 & 1 ,
pois os coeficientes de xy,xz,yz são 2, -2,-6, respectivamente, e se distribuem em Q12=Q21=1, Q13=Q31=-1, Q23=Q32=-3. A constante é +8.

Passo 3

Calculemos o polinômio característico de Q,
det(Q-lambda I) =-(lambda+2)(lambda-3)(lambda-6),
logo os autovalores são
lambda1=3, lambda2=6, lambda3=-2
Os autovetores correspondentes são exatamente
Q,A=3A, Q,B=6B, Q,C=-2C,
e nota-se ainda que Aperp Bperp C.

Passo 4

Para passar a uma base ortonormal de autovetores, normalizamos
e1=A|A|, e2=B|B|, e3=C|C|,
onde |A|=raiz3, |B|=raiz6, |C|=raiz2. Em coordenadas próprias definidas por
P=bar x,e1+bar y,e2+bar z,e3,
a forma quadrática se diagonaliza como
lambda1bar x^2+lambda2bar y^2+lambda3bar z^2+8=0

Passo 5

Substituindo os autovalores, obtemos a equação em (bar x,bar y,bar z):
3,bar x^2+6,bar y^2-2,bar z^2+8=0
Como há dois autovalores positivos e um negativo, S é um hiperboloide de duas folhas (duas componentes separadas ao longo do eixo bar z).

Resposta

3,bar x^2+6,bar y^2-2,bar z^2+8=0,
que é um hiperboloide de duas folhas.

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