Considere um sistema de coordenadas e determinado pela origem e pelos pontos e . Descreva a superfície nesse sistema de coordenadas e identifique-a. (resp.: o hiperboloide )
Passo 1
O enunciado dá a superfície
no sistema de coordenadas canônico e pede sua descrição no novo sistema cujos eixos são determinados pelos vetores
Como se trata de uma forma quadrática, vamos montar sua matriz simétrica, diagonalizá-la encontrando autovalores e autovetores, e ver que exatamente são autovetores. Em seguida escrevemos em coordenadas próprias .
Passo 2
A forma quadrática tem matriz
pois os coeficientes de xy,xz,yz são 2, -2,-6, respectivamente, e se distribuem em Q12=Q21=1, Q13=Q31=-1, Q23=Q32=-3. A constante é +8.
Passo 3
Calculemos o polinômio característico de Q,
det(Q-lambda I) =-(lambda+2)(lambda-3)(lambda-6),
logo os autovalores são
lambda1=3, lambda2=6, lambda3=-2
Os autovetores correspondentes são exatamente
Q,A=3A, Q,B=6B, Q,C=-2C,
e nota-se ainda que Aperp Bperp C.
Passo 4
Para passar a uma base ortonormal de autovetores, normalizamos
e1=A|A|, e2=B|B|, e3=C|C|,
onde |A|=raiz3, |B|=raiz6, |C|=raiz2. Em coordenadas próprias definidas por
P=bar x,e1+bar y,e2+bar z,e3,
a forma quadrática se diagonaliza como
lambda1bar x^2+lambda2bar y^2+lambda3bar z^2+8=0
Passo 5
Substituindo os autovalores, obtemos a equação em (bar x,bar y,bar z):
3,bar x^2+6,bar y^2-2,bar z^2+8=0
Como há dois autovalores positivos e um negativo, S é um hiperboloide de duas folhas (duas componentes separadas ao longo do eixo bar z).