Exercício 1. Neste exercício, pede-se para calcular a transformada de Fourier de algumas funções e para provar uma identidade.
Mostre que
integral-infty^infty sen(a t) sen(b t)t^2 d t=pi min (a, b)
(Dica: Use a fórmula de Plancherel)

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que
integral-infty^inftysen(a t),sen(b t)t^2,dt=pi,min(a,b)
O conteúdo principal aqui é a transformada de Fourier e o Teorema de Plancherel (ou identidade de Parseval) para produtos de funções. Vamos usar a convenção
widehatf(omega)=integral-infty^inftyf(t),e^-iomega t,dt,
com inversa
f(t)=12piintegral-infty^inftywidehatf(omega),e^iomega t,domega,
e então
integral-infty^inftyf(t),g(t),dt =12piintegral-infty^inftywidehatf(omega),widehatg(omega),domega

Passo 2

Definimos a função
ga(t)=sen(a t)t
Observe que a integral que queremos é exatamente o produto interno
integral-infty^inftyga(t),gb(t),dt
De fato,
ga(t),gb(t) =sen(a t)t,sen(b t)t =sen(a t),sen(b t)t^2

Passo 3

Pelo Teorema de Plancherel, temos
integral-infty^inftyga(t),gb(t),dt =12pi integral-infty^inftywidehatga(omega),widehatgb(omega),domega
Como ga(t) e gb(t) são reais e pares, suas transformadas são reais e pares, e podemos desprezar complexos conjugados.

Passo 4

Calculamos agora
ou seja
onde .

Passo 5

Substituindo em Plancherel, obtemos
integral-infty^inftyga(t),gb(t),dt =12pi integral-infty^infty l[pi,chi[-a,a](omega)r] l[pi,chi[-b,b](omega)r] ,domega
Como o produto das indicadoras chi[-a,a],chi[-b,b] é chi[-min(a,b),,min(a,b)], a integral no lado direito vira
pi^22pi integral-infty^inftychi[-min(a,b),,min(a,b)](omega),domega =pi2,l[2,min(a,b)r] =pi,min(a,b)

Resposta

integral-infty^inftysen(a t),sen(b t)t^2,dt =pi,min(a,b)

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