Mostre que
não é separável.
Passo 1
O espaço em questão é
equipado com a norma
Queremos mostrar que não existe nele um subconjunto denso e contável, ou seja, que
não é separável.
Passo 2
Construímos uma partição mensurável de
em conjuntos disjuntos de medida positiva. Por exemplo, define-se para cada
:
que são disjuntos e
.
Passo 3
Para cada subconjunto
definimos a função
onde
é a função indicadora de
. Cada
vale
ou
, logo
e
. Como existem
subconjuntos de
, obtemos uma família de cardinalidade do contínuo de funções em
.
Passo 4
Dados
, seja
onde
. No intervalo
, uma das funções vale
e a outra vale
. Portanto
Assim, qualquer duas dessas funções estão à distância
uma da outra.
Passo 5
Suponha, por contradição, que exista um conjunto denso e contável
. Como as bolas de raio
centradas em cada
são disjuntas (distância entre centros é
), para cada
deve haver algum
com
Isso atribui injetivamente cada
a um elemento de
, forçando
, o que contradiz a contabilidade de
. Logo não pode existir tal conjunto denso e contável.