Mostre que Linfty[0,1] não é separável.

Passo 1

O espaço em questão é equipado com a norma
Queremos mostrar que não existe nele um subconjunto denso e contável, ou seja, que não é separável.

Passo 2

Construímos uma partição mensurável de [0,1] em conjuntos disjuntos de medida positiva. Por exemplo, define-se para cada ninN:
In = l[2^-n,,2^-n+1r),
que são disjuntos e mes(In)=2^-n>0.

Passo 3

Para cada subconjunto AsubseteqN definimos a função
fA(x)=sumnin AchiIn(x),
onde chiIn é a função indicadora de In. Cada fA vale 0 ou 1, logo |fA|infty=1 e fAin Linfty[0,1]. Como existem 2^a<=ph0 subconjuntos de N, obtemos uma família de cardinalidade do contínuo de funções em Linfty[0,1].

Passo 4

Dados Aneq B, seja
m=minl(Atriang<= Br),
onde Atriang<= B=(Asetminus B)cup(Bsetminus A). No intervalo Im, uma das funções vale 1 e a outra vale 0. Portanto
|fA - fB|infty =supxin[0,1]|fA(x)-fB(x)|=1
Assim, qualquer duas dessas funções estão à distância 1 uma da outra.

Passo 5

Suponha, por contradição, que exista um conjunto denso e contável Dsubset Linfty[0,1]. Como as bolas de raio 1/2 centradas em cada fA são disjuntas (distância entre centros é 1), para cada fA deve haver algum din D com
|d - fA|infty<tfrac12
Isso atribui injetivamente cada fA a um elemento de D, forçando #D>=2^a<=ph0, o que contradiz a contabilidade de D. Logo não pode existir tal conjunto denso e contável.

Resposta

Linfty[0,1] não é separável.

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