Exercício 1. Neste exercício, pede-se para calcular a transformada de Fourier de algumas funções e para provar uma identidade.
Seja de<a0 in D^prime(R) e chi[-a, a]: R C a função característica do conjunto [-a, a], ou seja,
chi[-a, a](x)=l 1, x in[-a, a] 0, x notin[-a, a]
Calcule F(de<a0), F((1i dd x)^k de<a0) e F(chi[-a, a]).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de três objetos em S'(R): o delta de Dirac de<a0, a sua derivada de ordem k com o operador l(tfrac1itfrac ddxr)^k e a função característica chi[-a,a]. Vamos usar a convenção
F(f)(xi)=integral-infty^inftyf(x),e^-ixi x,dx,
a linearidade da transformada e a propriedade de derivação em distribuições:
Fl(T'r)(xi)=i,xi,F(T)(xi)

Passo 2

Calcular F(de<a0). Pela própria definição de de<a0 como distribuição,
F(de<a0)(xi) =integral-infty^inftyde<a(x),e^-ixi x,dx =e^-ixicdot0 =1

Passo 3

Calcular Fl((tfrac1itfrac ddx)^kde<a0r). Usando que
F(T')(xi)=ixi,F(T)(xi) e F(de<a0)(xi)=1, temos por indução:
Fl(l(tfrac1itfrac ddxr)^kde<a0r)(xi) =l(tfrac1ir)^k,(ixi)^k,F(de<a0)(xi) =xi^k

Passo 4

Calcular F(chi[-a,a]). Pela definição integral,
F(chi[-a,a])(xi) =integral-a^ae^-ixi x,dx =e^-ixi x-ixi|x=-a^x=a =e^-ixi a-e^ixi a-ixi =2sin(xi a)xi

Resposta

F(de<a0)(xi)=1,
Fl(l(tfrac1itfrac ddxr)^kde<a0r)(xi)=xi^k,
F(chi[-a,a])(xi)=2sin(xi a)xi

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