Exercício 1. Neste exercício, pede-se para calcular a transformada de Fourier de algumas funções e para provar uma identidade.
Seja e a função característica do conjunto , ou seja,
Calcule F(de<a0), F((1i dd x)^k de<a0) e F(chi[-a, a]).
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier de três objetos em S'(R): o delta de Dirac de<a0, a sua derivada de ordem k com o operador l(tfrac1itfrac ddxr)^k e a função característica chi[-a,a]. Vamos usar a convenção
F(f)(xi)=integral-infty^inftyf(x),e^-ixi x,dx,
a linearidade da transformada e a propriedade de derivação em distribuições:
Fl(T'r)(xi)=i,xi,F(T)(xi)
Passo 2
Calcular F(de<a0). Pela própria definição de de<a0 como distribuição,