1. Considere um sistema de coordenadas onde os eixos barx, bary e barz são as retas suportes dos vetores u=2 i-j-k, v=j-k e w=i+j+k. Escreva a equação da superfície S: x y+y z+x z=0 no novo sistema de coordenadas e identifique-a.
    (resp.: o cone barx^2+bary^2=2 barz^2 )

Passo 1

Estamos diante da superfície em (x,y,z) dada por
x,y + y,z + x,z = 0,
e queremos reescrevê-la em um novo sistema de coordenadas bar x,bar y,bar z cujos eixos são as direções dos vetores
vec u = 2vec i - vec j - vec k, vec v = vec j - vec k, vec w = vec i + vec j + vec k
Como vec u,vec v,vec w são mutuamente ortogonais, basta normalizá-los para obter uma base ortonormal e expressar (x,y,z) em função de (bar x,bar y,bar z).

Passo 2

Calculamos as normas e os versores:
|vec u| = raiz2^2+(-1)^2+(-1)^2 = raiz6, |vec v| = raiz0^2+1^2+(-1)^2 = raiz2, |vec w| = raiz1^2+1^2+1^2 = raiz3
Logo, os versores são
hat u = 1raiz6(2,-1,-1), hat v = 1raiz2(0,1,-1), hat w = 1raiz3(1,1,1)

Passo 3

Em coordenadas novas, um ponto P tem vetor posição
r = x,i + y,j + z,k = barx,u + bary,v + barz,w
Isso dá o sistema
x = dfrac2raiz6,barx ; + ; 0cdotbary ; + ; dfrac1raiz3,barz,[6pt] y = -dfrac1raiz6,barx ; + ; dfrac1raiz2,bary ; + ; dfrac1raiz3,barz,[6pt] z = -dfrac1raiz6,barx ; - ; dfrac1raiz2,bary ; + ; dfrac1raiz3,barz ]

Passo 4

Substituímos essas expressões em x,y + y,z + x,z. Após expandir e agrupar termos em bar x^2,bar y^2,bar z^2 (os mistas se cancelam por ortogonalidade), obtém-se
-3,bar x^2 ;-;bar y^2 ;+;3,bar z^2 ;=;0 Long<=ftrightarrow bar x^2 + bar y^2 = 2,bar z^2

Passo 5

A equação
bar x^2 + bar y^2 = 2,bar z^2
é justamente a de um cone duplo de revolução em torno do eixo bar z, cujo semi-ângulo satisfaz tan^2alpha=2.

Resposta

Em coordenadas (bar x,bar y,bar z) a superfície é
bar x^2 + bar y^2 = 2,bar z^2,
ou seja, um cone duplo de revolução em torno do eixo bar z.

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