Considere um sistema de coordenadas onde os eixos e são as retas suportes dos vetores e . Escreva a equação da superfície no novo sistema de coordenadas e identifique-a.
(resp.: o cone )
Passo 1
Estamos diante da superfície em dada por
e queremos reescrevê-la em um novo sistema de coordenadas cujos eixos são as direções dos vetores
Como são mutuamente ortogonais, basta normalizá-los para obter uma base ortonormal e expressar em função de .
Passo 2
Calculamos as normas e os versores:
Logo, os versores são
Passo 3
Em coordenadas novas, um ponto tem vetor posição
Isso dá o sistema
]
Passo 4
Substituímos essas expressões em x,y + y,z + x,z. Após expandir e agrupar termos em bar x^2,bar y^2,bar z^2 (os mistas se cancelam por ortogonalidade), obtém-se
-3,bar x^2 ;-;bar y^2 ;+;3,bar z^2 ;=;0 Long<=ftrightarrow bar x^2 + bar y^2 = 2,bar z^2
Passo 5
A equação
bar x^2 + bar y^2 = 2,bar z^2
é justamente a de um cone duplo de revolução em torno do eixo bar z, cujo semi-ângulo satisfaz tan^2alpha=2.
Resposta
Em coordenadas (bar x,bar y,bar z) a superfície é
bar x^2 + bar y^2 = 2,bar z^2,
ou seja, um cone duplo de revolução em torno do eixo bar z.