Mostre que ellp pode ser isometricamente imerso em Lp[0,1]. Ou seja, que ellp é isométrico a um subespaço de Lp[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço de sequências ellp, 1<= p<infty, pode ser visto como um subespaço de Lp[0,1] de modo isométrico. Vamos usar o fato de que Lp[0,1] admite funções com suporte em subconjuntos disjuntos de medida controlada, e definir um operador linear T:ellpto Lp[0,1] que preserva norma.

Passo 2

Escolhemos uma partição mensurável de [0,1] em intervalos disjuntos (In)n=1^infty tais que
mu(In) = 2^-n
Por exemplo, defina
In = l[,2^-(n),,2^-(n-1)r), n=1,2,dots
Então mu(In)=2^-(n-1)-2^-n=2^-n.

Passo 3

Definimos T:ellpto Lp[0,1] por
Tl((xn)n=1^inftyr)(t) =sumn=1^infty xnl(mu(In)r)^1/p;1In(t) =sumn=1^infty xn,2^,n/p;1In(t)
Aqui 1In é a função indicadora de In. Cada T((xn)) é mensurável e está em Lp[0,1].

Passo 4

Calculamos a norma em Lp[0,1]:
|T((xn))|Lp =l(integral0^1l|T((xn))(t)r|^p,dtr)^1/p =l(sumn=1^inftyintegralInl|xn2^n/pr|^p,dtr)^1/p
Como integralIndt=mu(In)=2^-n, cada termo é
integralIn|xn|^p2^n,dt =|xn|^p2^n,2^-n =|xn|^p
Portanto
|T((xn))|Lp =l(sumn=1^infty|xn|^pr)^1/p =|(xn)|ellp
Isso mostra que T é uma isometria linear sobre ellp em Lp[0,1] e, sendo injetora, sua imagem é um subespaço isométrico.

Resposta

A imersão isométrica é dada por
Tl((xn)r)(t) =sumn=1^inftyxn,2^n/p;1In(t),
que satisfaz |T((xn))|Lp=|(xn)|ellp, logo ellp é isométrico a um subespaço de Lp[0,1].

Exercícios relacionados