Mostre que pode ser isometricamente imerso em . Ou seja, que é isométrico a um subespaço de .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço de sequências , , pode ser visto como um subespaço de de modo isométrico. Vamos usar o fato de que admite funções com suporte em subconjuntos disjuntos de medida controlada, e definir um operador linear que preserva norma.
Passo 2
Escolhemos uma partição mensurável de em intervalos disjuntos tais que
Por exemplo, defina
Então .
Passo 3
Definimos por
Aqui é a função indicadora de . Cada é mensurável e está em .