A reta , gira em torno do eixo . Determine a equação do cone resultante, seu vértice e sua interseção com o plano . (resp.: )
Passo 1
O enunciado diz que a reta
gira em torno do eixo . O conteúdo aqui é superfície de revolução: ao rodar uma reta que não é paralela ao eixo de rotação, obtemos um cone. Precisamos achar
A equação implícita do cone,
Seu vértice (ponto onde o “raio” do cone se anula),
A curva de interseção desse cone com o plano (isto é, ).
Passo 2
Começamos isolando em função de na reta original:
Essa é a abscissa de qualquer ponto da reta antes da rotação.
Passo 3
Ao girar a reta em torno do eixo , um ponto final do cone satisfaz que sua distância radial ao eixo ,
é igual à distância horizontal original . Logo
raizx^2+z^2 = |32y - 3|
Elevando ao quadrado e multiplicando por 4, obtemos
4,(x^2+z^2) = 9,(y-2)^2,
ou seja, a equação do cone é
4,(x^2+z^2);-;9,(y-2)^2 ;=;0
Passo 4
O vértice ocorre quando o raio do cone some, isto é
32y - 3 = 0 Longrightarrow y = 2,
e nesse ponto x=0 e z=0. Assim o vértice é
V(0,2,0)
Passo 5
Para a interseção com o plano yz basta pôr x=0 na equação do cone: