1. A reta 2 x-3 y=6, z=0, gira em torno do eixo y. Determine a equação do cone resultante, seu vértice e sua interseção com o plano y z. (resp.: 4 x^2-9(y-2)^2 ; V(0,2,0) ; 3 y pm 2 z=6 )

Passo 1

O enunciado diz que a reta
2x - 3y + 6 = 0, z = 0
gira em torno do eixo y. O conteúdo aqui é superfície de revolução: ao rodar uma reta que não é paralela ao eixo de rotação, obtemos um cone. Precisamos achar
  1. A equação implícita do cone,
  2. Seu vértice (ponto onde o “raio” do cone se anula),
  3. A curva de interseção desse cone com o plano yz (isto é, x=0).

Passo 2

Começamos isolando x em função de y na reta original:
2x - 3y + 6 = 0 Longrightarrow x = 3y - 62 = 32,y - 3
Essa é a abscissa de qualquer ponto da reta antes da rotação.

Passo 3

Ao girar a reta em torno do eixo y, um ponto final (x,y,z) do cone satisfaz que sua distância radial ao eixo y,
r = raizx^2 + z^2,
é igual à distância horizontal original l|x0r| = l|tfrac32y - 3r|. Logo
raizx^2+z^2 = |32y - 3|
Elevando ao quadrado e multiplicando por 4, obtemos
4,(x^2+z^2) = 9,(y-2)^2,
ou seja, a equação do cone é
4,(x^2+z^2);-;9,(y-2)^2 ;=;0

Passo 4

O vértice ocorre quando o raio do cone some, isto é
32y - 3 = 0 Longrightarrow y = 2,
e nesse ponto x=0 e z=0. Assim o vértice é
V(0,2,0)

Passo 5

Para a interseção com o plano yz basta pôr x=0 na equação do cone:
4,z^2 = 9,(y-2)^2 Longrightarrow 2,z = pm 3,(y-2) Longrightarrow 3y pm 2z = 6

Resposta

Equação do cone:
4,(x^2+z^2);-;9,(y-2)^2 = 0
Vértice:
V(0,2,0)
Interseção com o plano yz:
3y pm 2z = 6

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