Considere o sistema cuja função de transferência de malha fechada é
C(s)R(s)=k(T2 s+1)T1 s+1
Obtenha a saída em regime permanente do sistema quando estiver sujeito a entrada r(t)=R sen(omega t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema com uma função de transferência de malha fechada dada por:
C(s)R(s) = k(T2 s + 1)T1 s + 1
O exercício pede para encontrar a saída em regime permanente quando a entrada é uma função senoidal: . Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT) e resposta em frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para uma entrada senoidal H(jomega) = C(jomega)R(jomega) = k(T2 jomega + 1)T1 jomega + 1 , a resposta em regime permanente do sistema também será uma senoide, mas com amplitude e fase diferentes. Para encontrar essa resposta, precisamos avaliar a função de transferência no ponto , onde é a unidade imaginária.
Então, substituímos por na função de transferência:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão para achar a magnitude e a fase da função de transferência. Isso vai nos ajudar a determinar como a amplitude e a fase da entrada são afetadas na sa��da.
Primeiro, calculamos a magnitude de |H(jomega)| = | k(T2 jomega + 1)T1 jomega + 1 | = k cdot raiz(T2omega)^2 + 1raiz(T1omega)^2 + 1 :
ang<= H(jomega) = tan^-1(T2omega) - tan^-1(T1omega)
E a fase de :

Passo 4

Com a magnitude e a fase em mãos, podemos escrever a saída em regime permanente. A entrada é c(t) = |H(jomega)| cdot R sin(omega t + ang<= H(jomega)) , então a saída será:
c(t) = k cdot raiz(T2omega)^2 + 1raiz(T1omega)^2 + 1 cdot R sin(omega t + tan^-1(T2omega) - tan^-1(T1omega))
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A saída em regime permanente do sistema é
c(t) = k cdot raiz(T2omega)^2 + 1raiz(T1omega)^2 + 1 cdot R sin(omega t + tan^-1(T2omega) - tan^-1(T1omega))

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