Determine o período fundamental do sinal
x(t)=2 cos (10 t+1)-sen(4 t-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o período fundamental do sinal dado por:
Isso envolve conceitos de senos e cossenos, mais especificamente sobre períodos de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como determinar o período de cada componente do sinal e, depois, achar um período que funcione para todo o sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as frequências angulares das duas funções trigonométricas no sinal. A frequência angular está no formato omega t, onde omega é a frequência:
  • Para 2 cos (10 t + 1), a frequência angular é omega1 = 10.
  • Para , a frequência angular é - sen(4 t - 1).

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o período de uma função trigonométrica é o menor intervalo de tempo após o qual a função se repete. A fórmula para o período T de uma função com frequência angular omega é:
T = 2piomega
Vamos calcular o período de cada componente:
  • Período da primeira função:
    T1 = 2pi10 = pi5
  • Período da segunda fun��ão:
    T2 = 2pi4 = pi2

Passo 4

Agora que temos os períodos individuais T1 = pi5 e T2 = pi2, precisamos encontrar o período fundamental do sinal composto. Isso significa achar o menor valor de T que seja múltiplo de ambos T1 e T2, ou seja, o mínimo múltiplo comum (MMC) desses períodos.

Passo 5

Para encontrar o MMC de pi5 e pi2, vamos pensar nos números sem considerar o pi primeiro:
  • MMC de 15 e 12.
Multiplicando cada fração por 10 para facilitar:
  • 15 times 10 = 2
  • 12 times 10 = 5
O MMC de 2 e 5 é 10. Então, voltando às frações:
  • O MMC de pi5 e pi2 é pi.

Resposta

O período fundamental do sinal x(t) é pi.

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