Determine se os sinais de tempo discreto a seguir são periódicos. Se o sinal for periódico, determine seu período fundamental.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! Aqui, a gente tem cinco sinais de tempo discreto diferentes e precisa descobrir se cada um deles é periódico. Se for periódico, também temos que encontrar o período fundamental. Para isso, vamos usar conceitos da teoria de sinais, especialmente sobre periodicidade em sinais discretos. Vamos precisar entender como a frequência afeta a periodicidade e verificar se a relação entre as frequências dos diferentes componentes dos sinais é racional ou não. Bora lá!
Passo 2
(a)
Primeiro, vamos lembrar que um sinal senoidal discreto é periódico se a frequência angular
for uma fração de
com numerador e denominador inteiros. Ou seja, se
, onde
e
são inteiros, o sinal é periódico com período fundamental
.
No nosso caso, a frequência é
. Vamos ver se ela pode ser escrita como
:
Para que
seja inteiro,
precisa ser múltiplo de 3. Tomando
:
Então, o período fundamental
.
Passo 3
(b)
Aqui, a frequência angular é
. Queremos ver se ela pode ser expressa como
:
Mas
deve ser inteiro e
é irracional, o que significa que não existe um
inteiro que satisfaça essa igualdade. Portanto, o sinal não é periódico.
Passo 4
©
Esse sinal tem um termo quadrático no argumento do cosseno,
. Sinais com termos não lineares, como
, geralmente não são periódicos porque não repetem seus valores em intervalos regulares de
. Portanto, esse sinal não é periódico.
Passo 5
(d)
Vamos simplificar esse produto usando a identidade trigonométrica:
Aplicando:
Agora, temos dois termos com frequências
e
. Para que o sinal seja periódico, as duas frequências devem ser múltiplos racionais de
:
Precisamos que
seja comum para ambos. Tomando
e
:
Então, o sinal é periódico com período fundamental
.
Passo 6
(e)
Vamos analisar cada termo separadamente:
-
: Frequência , o que corresponde a . -
: Frequência , corresponde a . -
: Frequência , corresponde a .
Para que o sinal completo seja periódico, o período fundamental deve ser o mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos individuais:
MMC de 8, 16 e 4 é 16.
Então, o sinal é periódico com período fundamental
.
Resposta
(a) O sinal é periódico com período fundamental
.
(b) O sinal não é periódico.
© O sinal não é periódico.
(d) O sinal é periódico com período fundamental
.
(e) O sinal é periódico com período fundamental
.