Determine se os sinais de tempo discreto a seguir são periódicos. Se o sinal for periódico, determine seu período fundamental.
(a) x[n]=sen(6 pi7 n+1)
(b) x[n]=cos (n8-pi)
© x[n]=cos (pi8 n^2)
(d) x[n]=cos (pi2 n) cos (pi4 n)
(e) x[n]=2 cos (pi4 n)+sen(pi8 n)-2 cos (pi2 n+pi6)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! Aqui, a gente tem cinco sinais de tempo discreto diferentes e precisa descobrir se cada um deles é periódico. Se for periódico, também temos que encontrar o período fundamental. Para isso, vamos usar conceitos da teoria de sinais, especialmente sobre periodicidade em sinais discretos. Vamos precisar entender como a frequência afeta a periodicidade e verificar se a relação entre as frequências dos diferentes componentes dos sinais é racional ou não. Bora lá!

Passo 2

(a) 6pi7 = 2pi kN implies 67 = 2kN implies N = 14k6 = 7k3

Primeiro, vamos lembrar que um sinal senoidal discreto é periódico se a frequência angular N = 7 times 33 = 7 for uma fração de com numerador e denominador inteiros. Ou seja, se , onde e são inteiros, o sinal é periódico com período fundamental .
No nosso caso, a frequência é . Vamos ver se ela pode ser escrita como :
Para que seja inteiro, precisa ser múltiplo de 3. Tomando :
Então, o período fundamental .

Passo 3

(b) 18 = 2pi kN implies N = 16pi k

Aqui, a frequência angular é . Queremos ver se ela pode ser expressa como :
Mas deve ser inteiro e é irracional, o que significa que não existe um inteiro que satisfaça essa igualdade. Portanto, o sinal não é periódico.

Passo 4

©

Esse sinal tem um termo quadrático no argumento do cosseno, . Sinais com termos não lineares, como , geralmente não são periódicos porque não repetem seus valores em intervalos regulares de . Portanto, esse sinal não é periódico.

Passo 5

(d) cos A cos B = 12 [cos(A+B) + cos(A-B)]

Vamos simplificar esse produto usando a identidade trigonométrica:
x[n] = 12 [ cos(pi2 n + pi4 n) + cos(pi2 n - pi4 n) ] = 12 [ cos(3pi4 n) + cos(pi4 n) ]
Aplicando:
3pi4 = 2pi k1N implies N = 8k13
Agora, temos dois termos com frequências pi4 = 2pi k2N implies N = 8k2 e N = 8 times 33 = 8 . Para que o sinal seja periódico, as duas frequências devem ser múltiplos racionais de :
Precisamos que seja comum para ambos. Tomando e :
Então, o sinal é periódico com período fundamental .

Passo 6

(e)

Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. : Frequência , o que corresponde a .
  2. : Frequência , corresponde a .
  3. : Frequência , corresponde a .
Para que o sinal completo seja periódico, o período fundamental deve ser o mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos individuais:
MMC de 8, 16 e 4 é 16.
Então, o sinal é periódico com período fundamental .

Resposta

(a) O sinal é periódico com período fundamental .
(b) O sinal não é periódico.
© O sinal não é periódico.
(d) O sinal é periódico com período fundamental .
(e) O sinal é periódico com período fundamental .

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