Considere o sistema cuja função de transferência de malha fechada é:
C(s)R(s)=K(T2 s+1)T1 s+1
Obtenha a resposta em regime permanente do sistema quando submetido a um sinal de entrada r(t)=R sin omega t.

Passo 1

Beleza, então temos um sistema em malha fechada cuja função de transferência é
H(s)=C(s)R(s)=K,(T2 s+1)T1 s+1
e a entrada é um senoidal .
O que a gente precisa: encontrar a resposta em regime permanente (isto é, depois que os transientes morreram) quando aplicamos esse seno de frequência .
Conteúdo: teoria de resposta a senoidais em sistemas LTI, uso de transformada de Laplace/phasors, cálculo de módulo e fase de .

Passo 2

Primeiro conceito importante: em regime permanente, um sistema LTI responde a um seno H(jomega) ;=; H(s)|s=jomega com outro seno de mesma frequência, mas com ganho e defasagem dados por
Ou seja, basta trocar por na função de transferência e achar módulo e ângulo desse número complexo.

Passo 3

Vamos calcular
H(jomega) =Kl(T2,(jomega)+1r)T1,(jomega)+1 =K,(1+jomega T2)1+jomega T1
Para achar o módulo e a fase , usamos:
  • |numerador| =
  • |denominador| =

Passo 4

Logo,
|H(jomega)| =K;raiz1+(omega T2)^2raiz1+(omega T1)^2, varphi =arctan(omega T2);-;arctan(omega T1)
Teoricamente: isso significa que, em regime, a saída é
c(t)=R,|H(jomega)|,sinl(omega t+varphir)

Resposta

A resposta em regime permanente é
boxed c(t) =R,K;raiz1+(omega T2)^2raiz1+(omega T1)^2 ;sin!l(omega t ;+;arctan(omega T2) ;-;arctan(omega T1)r)

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