Considere o sistema
a) Encontre os ranks das matrizes associada e completa e discuta a solução do sistema;
b) Verifique a condição do sistema segundo o determinante da matriz associada;
c) Encontre a solução do sistema homogêneo correspondente;
d) Encontre a solução do sistema como translação do sistema homogêneo.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema de três equações lineares em três incógnitas
x + y - z = 2 2x + 3y - z = 12 -2x - y + 3z = 4
Precisamos usar conceitos de posto de matriz, determinante, sistema homogêneo e parametrização para discutir compatibilidade, resolver o homogêneo e obter a solução geral.
Calculamos o determinante de A. Usando expansão ou fórmula de Sarrus, obtemos det A = 0, logo rank(A)<3. Para ver que rank(A)=2, basta notar o menor
1 & 1 2 & 3 = 3 - 2 = 1 neq 0
Portanto rank(A)=2. Como não surge contradição na ampliada, rank(A|b)=2.
Passo 3
Como rank(A)=rank(A|b)=2<3, o sistema é compatível indeterminado e possui infinitas soluções com um grau de liberdade.
Passo 4
Verificando a condição pelo determinante da matriz associada, temos det A = 0. Isso confirma que não há solução única e que o sistema é singular, de acordo com o Teorema de Rouché–Capelli.
Passo 5
Para o sistema homogêneo correspondente
Ax = 0,
usamos parametrização. Da primeira equação x + y - z = 0 vem x = -y + z. Substituindo na segunda, obtemos y + z = 0 logo y = -z. Daí x = 2z. Podemos escrever a solução geral do homogêneo como
(x,y,z) = t,(2, -1, 1), tinR
Passo 6
Para achar uma solução particular do sistema original, escolhemos z=0. Das condições vem y = 8 e x = -6, logo um particular é (-6,8,0). A solução geral do sistema é então a translação da solução homogênea:
(x,y,z) = (-6,8,0) + t,(2, -1, 1), tinR
Resposta
a) rank(A)=2, rank(A|b)=2, sistema compatível indeterminado com infinitas soluções.
b) det A=0 indica matriz singular, confirmando ausência de solução única.
c) Solução do homogêneo: (x,y,z)=t,(2,-1,1), tinR
d) Solução geral: (x,y,z)=(-6,8,0)+t,(2,-1,1), tinR