Os dados a seguir mostram como a Difusividade Térmica de uma fibra varia em função da temperatura. Quatro situações diferentes são consideradas:
Carb. sem = “Fibra de carbono sem envelhecimento”
Vidro sem = “Fibra de vidro sem envelhecimento”
Carb. com = “Fibra de carbono com envelhecimento”
Vidro com = “Fibra de vidro com envelhecimento”
Temperatura |l|l|l|l|l|l|l|l| hline mu e Difusividade Térmica =beta0+beta1
Carb. sem Vidro sem Carb. com Vidro com
Temp. l|ccccc hline & $Sigma x$ & $Sigma y$ & $Sigma x^2$ & $Sigma y^2$ & $sum xy$ hline Carbono sem & 1803,2 & 6,272 & 265974,1 & 2,644600 & 725,962 Vidro sem & 1805,7 & 4,488 & 266095,4 & 1,346240 & 532,775 Carbono com & 1805,8 & 5,576 & 266229,3 & 2,090994 & 642,041 Vidro com & 1805,6 & 4,219 & 266148,3 & 1,203391 & 484,294 hline Dif. Térm. ( x= ) Temp. ( y= ) Dif. Térm. ( ) Temp. Dif. Térm. ( ) Temp. Dif. Térm. ( )
30,2 0,459 30,3 0,304 29,9 0,422 30,1 0,339
50,3 0,445 50,4 0,297 50,2 0,408 50,3 0,341
60,1 0,442 60,2 0,296 60,1 0,404 60,3 0,337
120,2 0,414 119,9 0,283 120,0 0,365 120,1 0,290
130,1 0,414 130,2 0,281 130,0 0,362 130,1 0,288
170,0 0,371 170,1 0,281 169,9 0,334 170,0 0,276
180,0 0,366 180,0 0,284 179,8 0,326 180,0 0,273
27,8 0,449 30,1 0,336 30,1 0,436 29,9 0,299
90,0 0,497 90,0 0,317 90,2 0,392 90,0 0,268
110,0 0,436 110,0 0,310 110,1 0,383 110,0 0,260
114,8 0,436 115,0 0,313 115,4 0,380 115,1 0,267
139,9 0,425 139,9 0,306 140,1 0,370 140,0 0,254
179,9 0,379 179,8 0,299 180,0 0,336 179,9 0,247
190,0 0,372 189,9 0,296 190,0 0,328 189,9 0,244
209,9 0,367 209,9 0,285 210,0 0,330 209,9 0,236
a) Para cada uma das quatro situações aqui consideradas: Carb. sem, Vidro sem, Carb. com, Vidro com, ajuste aos dados uma reta de regressão
Difusividade Térmica Temperatura.
b) No caso da fibra de carbono, o decrescimento da Difusividade Térmica em função da temperatura é mais rápido com ou sem envelhecimento? Por quê?
c) No caso da fibra de vidro, o decrescimento da Difusividade Térmica em função da temperatura é mais rápido com ou sem envelhecimento? Por quê?
d) Comparando as duas situações em que não há envelhecimento, o decrescimento da Difusividade Térmica em função da temperatura é mais rápido em relação à fibra de carbono ou à fibra de vidro? Por quê?
e) Comparando as duas situações em que há envelhecimento, o decrescimento da Difusividade Térmica em função da temperatura é mais rápido no caso da fibra de carbono ou no caso da fibra de vidro? Por quê?
Obs.: Para facilitar os cálculos, são fornecidos:
Carbono sem 1803,2 6,272 265974,1 2,644600 725,962
Vidro sem 1805,7 4,488 266095,4 1,346240 532,775
Carbono com 1805,8 5,576 266229,3 2,090994 642,041
Vidro com 1805,6 4,219 266148,3 1,203391 484,294
onde: Temperatura e Difusividade Térmica

Passo 1

Temos quatro conjuntos de dados (Carb. sem, Vidro sem, Carb. com, Vidro com) com valores de temperatura x e difusividade térmica y. Queremos ajustar a reta de regressão linear y=beta0+beta1x a cada conjunto e depois comparar a rapidez do decaimento de y em função de x (que fica caracterizada pelo valor de beta1). Vamos usar as fórmulas clássicas de regressão linear simples:
Para cada conjunto, o coeficiente angular beta1 e o coeficiente linear beta0 são dados por
$$\beta_{1}=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}},\qquad
\beta_{0}=\bar y-\beta_{1}\bar x,$$ onde beta1=nsum xy-sum xsum ynsum x^2-(sum x)^2, beta0=bar y-beta1bar x,, n=15 e bar x=sum xn. Agora aplicamos aos dados fornecidos:

Passo 2

[n=15,\
\sum x=1803.2,\
\sum y=6.272,\
\sum x^{2}=265974.1,\
\sum xy=725.962.\
\beta_{1}=
\frac{15\times725.962-1803.2\times6.272}{15\times265974.1-(1803.2)^{2}}
\approx-5.693\times10^{-4},\
\bar x=120.2133,\
\bar y=0.41813,\
\beta_{0}=0.41813-(-5.693\times10^{-4})\times120.2133
\approx0.4866.\
Logoy=0.4866-5.693\times10^{-4},x.
Para a fibra de vidro sem envelhecimento (Vidro sem):
[n=15,\
\sum x=1805.7,\
\sum y=4.488,\
\sum x^{2}=266095.4,\
\sum xy=532.775.\
\beta_{1}=
\frac{15\times532.775-1805.7\times4.488}{15\times266095.4-(1805.7)^{2}}
\approx-1.537\times10^{-4},\
\bar x=120.38,\
\bar y=0.29920,\
\beta_{0}=0.29920-(-1.537\times10^{-4})\times120.38
\approx0.3177.\
Logoy=0.3177-1.537\times10^{-4},x.
Para a fibra de carbono com envelhecimento (Carb. com):
[n=15,\
\sum x=1805.8,\
\sum y=5.576,\
\sum x^{2}=266229.3,\
\sum xy=642.041.\
\beta_{1}=
\frac{15\times642.041-1805.8\times5.576}{15\times266229.3-(1805.8)^{2}}
\approx-5.991\times10^{-4},\
\bar x=120.3867,\
\bar y=0.37173,\
\beta_{0}=0.37173-(-5.991\times10^{-4})\times120.3867
\approx0.4438.\
Logoy=0.4438-5.991\times10^{-4},x.
Para a fibra de vidro com envelhecimento (Vidro com):
[n=15,\
\sum x=1805.6,\
\sum y=4.219,\
\sum x^{2}=266148.3,\
\sum xy=484.294.\
\beta_{1}=
\frac{15\times484.294-1805.6\times4.219}{15\times266148.3-(1805.6)^{2}}
\approx-4.827\times10^{-4},\
\bar x=120.3733,\
\bar y=0.28127,\
\beta_{0}=0.28127-(-4.827\times10^{-4})\times120.3733
\approx0.3394.\
Logoy=0.3394-4.827\times10^{-4},x.

Passo 3

Agora comparamos a rapidez do decaimento (valor absoluto de beta1):
No caso da fibra de carbono:
|beta1^sem|=5.693times10^-4,|beta1^com|=5.991times10^-4
Como 5.991times10^-4>5.693times10^-4, o decrescimento é mais rápido com envelhecimento.
No caso da fibra de vidro:
|beta1^sem|=1.537times10^-4,|beta1^com|=4.827times10^-4
Como 4.827times10^-4>1.537times10^-4, o decrescimento é mais rápido com envelhecimento.
Comparando sem envelhecimento entre as duas fibras:
|beta1^Carb sem|=5.693times10^-4>1.537times10^-4=|beta1^Vidro sem|, logo a fibra de carbono decresce mais rápido sem envelhecimento.
Comparando com envelhecimento:
|beta1^Carb com|=5.991times10^-4>4.827times10^-4=|beta1^Vidro com|, logo a fibra de carbono decresce mais rápido com envelhecimento.

Resposta

As retas de regressão encontradas foram:
Para fibra de carbono sem envelhecimento:
Diffusividade=0.4866 - 5.693times10^-4,Temp
Para fibra de vidro sem envelhecimento:
Diffusividade=0.3177 - 1.537times10^-4,Temp
Para fibra de carbono com envelhecimento:
Diffusividade=0.4438 - 5.991times10^-4,Temp
Para fibra de vidro com envelhecimento:
Diffusividade=0.3394 - 4.827times10^-4,Temp
a) Slope beta1 obtidos acima.
b) Na fibra de carbono o decaimento é mais rápido com envelhecimento (|(\beta_{1}{com}|>|\beta_{1}{sem}|).\nc) Na fibra de vidro o decaimento é mais rápido com envelhecimento (|(\beta_{1}{com}|>|\beta_{1}{sem}|).\nd) Sem envelhecimento a fibra de carbono decresce mais rápido que a de vidro (|(\beta_{1}^{Carb sem}|>|\beta_{1}^{Vidro sem}|).\ne) Com envelhecimento a fibra de carbono decresce mais rápido que a de vidro (|(\beta_{1}^{Carb com}|>|\beta_{1}^{Vidro com}|).

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