Os dados a seguir mostram como a Difusividade Térmica de uma fibra varia em função da temperatura. Quatro situações diferentes são consideradas:
Carb. sem = “Fibra de carbono sem envelhecimento”
Vidro sem = “Fibra de vidro sem envelhecimento”
Carb. com = “Fibra de carbono com envelhecimento”
Vidro com = “Fibra de vidro com envelhecimento”
Temperatura
e Difusividade Térmica
Carb. sem
Vidro sem
Carb. com
Vidro com
Temp.
Dif. Térm. (
)
Temp. (
)
Dif. Térm. (
)
Temp.
Dif. Térm. (
)
Temp.
Dif. Térm. (
)
30,2
0,459
30,3
0,304
29,9
0,422
30,1
0,339
50,3
0,445
50,4
0,297
50,2
0,408
50,3
0,341
60,1
0,442
60,2
0,296
60,1
0,404
60,3
0,337
120,2
0,414
119,9
0,283
120,0
0,365
120,1
0,290
130,1
0,414
130,2
0,281
130,0
0,362
130,1
0,288
170,0
0,371
170,1
0,281
169,9
0,334
170,0
0,276
180,0
0,366
180,0
0,284
179,8
0,326
180,0
0,273
27,8
0,449
30,1
0,336
30,1
0,436
29,9
0,299
90,0
0,497
90,0
0,317
90,2
0,392
90,0
0,268
110,0
0,436
110,0
0,310
110,1
0,383
110,0
0,260
114,8
0,436
115,0
0,313
115,4
0,380
115,1
0,267
139,9
0,425
139,9
0,306
140,1
0,370
140,0
0,254
179,9
0,379
179,8
0,299
180,0
0,336
179,9
0,247
190,0
0,372
189,9
0,296
190,0
0,328
189,9
0,244
209,9
0,367
209,9
0,285
210,0
0,330
209,9
0,236
a) Para cada uma das quatro situações aqui consideradas: Carb. sem, Vidro sem, Carb. com, Vidro com, ajuste aos dados uma reta de regressão
Difusividade Térmica
Temperatura.
b) No caso da fibra de carbono, o decrescimento da Difusividade Térmica em função da temperatura é mais rápido com ou sem envelhecimento? Por quê?
c) No caso da fibra de vidro, o decrescimento da Difusividade Térmica em função da temperatura é mais rápido com ou sem envelhecimento? Por quê?
d) Comparando as duas situações em que não há envelhecimento, o decrescimento da Difusividade Térmica em função da temperatura é mais rápido em relação à fibra de carbono ou à fibra de vidro? Por quê?
e) Comparando as duas situações em que há envelhecimento, o decrescimento da Difusividade Térmica em função da temperatura é mais rápido no caso da fibra de carbono ou no caso da fibra de vidro? Por quê?
Obs.: Para facilitar os cálculos, são fornecidos:
Carbono sem
1803,2
6,272
265974,1
2,644600
725,962
Vidro sem
1805,7
4,488
266095,4
1,346240
532,775
Carbono com
1805,8
5,576
266229,3
2,090994
642,041
Vidro com
1805,6
4,219
266148,3
1,203391
484,294
onde:
Temperatura e
Difusividade Térmica
Vidro sem = “Fibra de vidro sem envelhecimento”
Carb. com = “Fibra de carbono com envelhecimento”
Vidro com = “Fibra de vidro com envelhecimento”
Carb. sem | Vidro sem | Carb. com | Vidro com | ||||
Temp.
|
Dif. Térm. (
|
Temp. (
|
Dif. Térm. (
|
Temp.
|
Dif. Térm. (
|
Temp.
|
Dif. Térm. (
|
30,2 | 0,459 | 30,3 | 0,304 | 29,9 | 0,422 | 30,1 | 0,339 |
50,3 | 0,445 | 50,4 | 0,297 | 50,2 | 0,408 | 50,3 | 0,341 |
60,1 | 0,442 | 60,2 | 0,296 | 60,1 | 0,404 | 60,3 | 0,337 |
120,2 | 0,414 | 119,9 | 0,283 | 120,0 | 0,365 | 120,1 | 0,290 |
130,1 | 0,414 | 130,2 | 0,281 | 130,0 | 0,362 | 130,1 | 0,288 |
170,0 | 0,371 | 170,1 | 0,281 | 169,9 | 0,334 | 170,0 | 0,276 |
180,0 | 0,366 | 180,0 | 0,284 | 179,8 | 0,326 | 180,0 | 0,273 |
27,8 | 0,449 | 30,1 | 0,336 | 30,1 | 0,436 | 29,9 | 0,299 |
90,0 | 0,497 | 90,0 | 0,317 | 90,2 | 0,392 | 90,0 | 0,268 |
110,0 | 0,436 | 110,0 | 0,310 | 110,1 | 0,383 | 110,0 | 0,260 |
114,8 | 0,436 | 115,0 | 0,313 | 115,4 | 0,380 | 115,1 | 0,267 |
139,9 | 0,425 | 139,9 | 0,306 | 140,1 | 0,370 | 140,0 | 0,254 |
179,9 | 0,379 | 179,8 | 0,299 | 180,0 | 0,336 | 179,9 | 0,247 |
190,0 | 0,372 | 189,9 | 0,296 | 190,0 | 0,328 | 189,9 | 0,244 |
209,9 | 0,367 | 209,9 | 0,285 | 210,0 | 0,330 | 209,9 | 0,236 |
b) No caso da fibra de carbono, o decrescimento da Difusividade Térmica em função da temperatura é mais rápido com ou sem envelhecimento? Por quê?
c) No caso da fibra de vidro, o decrescimento da Difusividade Térmica em função da temperatura é mais rápido com ou sem envelhecimento? Por quê?
d) Comparando as duas situações em que não há envelhecimento, o decrescimento da Difusividade Térmica em função da temperatura é mais rápido em relação à fibra de carbono ou à fibra de vidro? Por quê?
e) Comparando as duas situações em que há envelhecimento, o decrescimento da Difusividade Térmica em função da temperatura é mais rápido no caso da fibra de carbono ou no caso da fibra de vidro? Por quê?
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|
Carbono sem | 1803,2 | 6,272 | 265974,1 | 2,644600 | 725,962 |
Vidro sem | 1805,7 | 4,488 | 266095,4 | 1,346240 | 532,775 |
Carbono com | 1805,8 | 5,576 | 266229,3 | 2,090994 | 642,041 |
Vidro com | 1805,6 | 4,219 | 266148,3 | 1,203391 | 484,294 |
Passo 1
Temos quatro conjuntos de dados (Carb. sem, Vidro sem, Carb. com, Vidro com) com valores de temperatura x e difusividade térmica y. Queremos ajustar a reta de regressão linear
a cada conjunto e depois comparar a rapidez do decaimento de y em função de x (que fica caracterizada pelo valor de
). Vamos usar as fórmulas clássicas de regressão linear simples:
Para cada conjunto, o coeficiente angular e o coeficiente linear
são dados por
Para cada conjunto, o coeficiente angular
$$\beta_{1}=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}},\qquad
\beta_{0}=\bar y-\beta_{1}\bar x,$$ onde
,
e
. Agora aplicamos aos dados fornecidos:
Passo 2
[n=15,\
\sum x=1803.2,\
\sum y=6.272,\
\sum x^{2}=265974.1,\
\sum xy=725.962.\
\beta_{1}=
\frac{15\times725.962-1803.2\times6.272}{15\times265974.1-(1803.2)^{2}}
\approx-5.693\times10^{-4},\
\bar x=120.2133,\
\bar y=0.41813,\
\beta_{0}=0.41813-(-5.693\times10^{-4})\times120.2133
\approx0.4866.\
Logoy=0.4866-5.693\times10^{-4},x.
Para a fibra de vidro sem envelhecimento (Vidro sem):
\sum x=1803.2,\
\sum y=6.272,\
\sum x^{2}=265974.1,\
\sum xy=725.962.\
\beta_{1}=
\frac{15\times725.962-1803.2\times6.272}{15\times265974.1-(1803.2)^{2}}
\approx-5.693\times10^{-4},\
\bar x=120.2133,\
\bar y=0.41813,\
\beta_{0}=0.41813-(-5.693\times10^{-4})\times120.2133
\approx0.4866.\
Logoy=0.4866-5.693\times10^{-4},x.
Para a fibra de vidro sem envelhecimento (Vidro sem):
[n=15,\
\sum x=1805.7,\
\sum y=4.488,\
\sum x^{2}=266095.4,\
\sum xy=532.775.\
\beta_{1}=
\frac{15\times532.775-1805.7\times4.488}{15\times266095.4-(1805.7)^{2}}
\approx-1.537\times10^{-4},\
\bar x=120.38,\
\bar y=0.29920,\
\beta_{0}=0.29920-(-1.537\times10^{-4})\times120.38
\approx0.3177.\
Logoy=0.3177-1.537\times10^{-4},x.
Para a fibra de carbono com envelhecimento (Carb. com):
\sum x=1805.7,\
\sum y=4.488,\
\sum x^{2}=266095.4,\
\sum xy=532.775.\
\beta_{1}=
\frac{15\times532.775-1805.7\times4.488}{15\times266095.4-(1805.7)^{2}}
\approx-1.537\times10^{-4},\
\bar x=120.38,\
\bar y=0.29920,\
\beta_{0}=0.29920-(-1.537\times10^{-4})\times120.38
\approx0.3177.\
Logoy=0.3177-1.537\times10^{-4},x.
Para a fibra de carbono com envelhecimento (Carb. com):
[n=15,\
\sum x=1805.8,\
\sum y=5.576,\
\sum x^{2}=266229.3,\
\sum xy=642.041.\
\beta_{1}=
\frac{15\times642.041-1805.8\times5.576}{15\times266229.3-(1805.8)^{2}}
\approx-5.991\times10^{-4},\
\bar x=120.3867,\
\bar y=0.37173,\
\beta_{0}=0.37173-(-5.991\times10^{-4})\times120.3867
\approx0.4438.\
Logoy=0.4438-5.991\times10^{-4},x.
Para a fibra de vidro com envelhecimento (Vidro com):
\sum x=1805.8,\
\sum y=5.576,\
\sum x^{2}=266229.3,\
\sum xy=642.041.\
\beta_{1}=
\frac{15\times642.041-1805.8\times5.576}{15\times266229.3-(1805.8)^{2}}
\approx-5.991\times10^{-4},\
\bar x=120.3867,\
\bar y=0.37173,\
\beta_{0}=0.37173-(-5.991\times10^{-4})\times120.3867
\approx0.4438.\
Logoy=0.4438-5.991\times10^{-4},x.
Para a fibra de vidro com envelhecimento (Vidro com):
[n=15,\
\sum x=1805.6,\
\sum y=4.219,\
\sum x^{2}=266148.3,\
\sum xy=484.294.\
\beta_{1}=
\frac{15\times484.294-1805.6\times4.219}{15\times266148.3-(1805.6)^{2}}
\approx-4.827\times10^{-4},\
\bar x=120.3733,\
\bar y=0.28127,\
\beta_{0}=0.28127-(-4.827\times10^{-4})\times120.3733
\approx0.3394.\
Logoy=0.3394-4.827\times10^{-4},x.
\sum x=1805.6,\
\sum y=4.219,\
\sum x^{2}=266148.3,\
\sum xy=484.294.\
\beta_{1}=
\frac{15\times484.294-1805.6\times4.219}{15\times266148.3-(1805.6)^{2}}
\approx-4.827\times10^{-4},\
\bar x=120.3733,\
\bar y=0.28127,\
\beta_{0}=0.28127-(-4.827\times10^{-4})\times120.3733
\approx0.3394.\
Logoy=0.3394-4.827\times10^{-4},x.
Passo 3
Agora comparamos a rapidez do decaimento (valor absoluto de
):
No caso da fibra de carbono:
Como , o decrescimento é mais rápido com envelhecimento.
No caso da fibra de vidro:
Como , o decrescimento é mais rápido com envelhecimento.
Comparando sem envelhecimento entre as duas fibras:
logo a fibra de carbono decresce mais rápido sem envelhecimento.
Comparando com envelhecimento:
logo a fibra de carbono decresce mais rápido com envelhecimento.
No caso da fibra de carbono:
Como
No caso da fibra de vidro:
Como
Comparando sem envelhecimento entre as duas fibras:
Comparando com envelhecimento:
Resposta
As retas de regressão encontradas foram:
Para fibra de carbono sem envelhecimento:
Para fibra de carbono sem envelhecimento:
Para fibra de vidro sem envelhecimento:
Para fibra de carbono com envelhecimento:
Para fibra de vidro com envelhecimento:
a) Slope
obtidos acima.
b) Na fibra de carbono o decaimento é mais rápido com envelhecimento (|(\beta_{1}{com}|>|\beta_{1}{sem}|).\nc) Na fibra de vidro o decaimento é mais rápido com envelhecimento (|(\beta_{1}{com}|>|\beta_{1}{sem}|).\nd) Sem envelhecimento a fibra de carbono decresce mais rápido que a de vidro (|(\beta_{1}^{Carb sem}|>|\beta_{1}^{Vidro sem}|).\ne) Com envelhecimento a fibra de carbono decresce mais rápido que a de vidro (|(\beta_{1}^{Carb com}|>|\beta_{1}^{Vidro com}|).
b) Na fibra de carbono o decaimento é mais rápido com envelhecimento (|(\beta_{1}{com}|>|\beta_{1}{sem}|).\nc) Na fibra de vidro o decaimento é mais rápido com envelhecimento (|(\beta_{1}{com}|>|\beta_{1}{sem}|).\nd) Sem envelhecimento a fibra de carbono decresce mais rápido que a de vidro (|(\beta_{1}^{Carb sem}|>|\beta_{1}^{Vidro sem}|).\ne) Com envelhecimento a fibra de carbono decresce mais rápido que a de vidro (|(\beta_{1}^{Carb com}|>|\beta_{1}^{Vidro com}|).