Considere um sistema descrito pela equação diferencial,
\ddot{y}(t)+2 \dot{y}(t)+y(t)=x(t)
Determine a saída desse sistema para y(0)=0, \dot{y}(0)=-1 e x(t)=u(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{y}(t)+2\dot{y}(t)+y(t)=x(t)
com as condições iniciais \,y(0)=0 e \dot{y}(0)=-1, e com entrada x(t)=u(t) (função degrau unitário).
O que nos pedem: determinar a saída y(t) do sistema (ou seja, encontrar a solução y(t) para t\ge 0, levando em conta que x(t)=1 para t\ge 0).

Passo 2

Método escolhido e por quê: como é uma equação linear com coeficientes constantes e entrada simples (constante para t\ge 0), o caminho mais direto é usar a decomposição em solução homogênea mais solução particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t).
Explico rapidamente: y_h resolve a equação sem o termo de entrada (lado direito zero) e contém as constantes que ajustamos com as condições iniciais; y_p é qualquer solução particular da equação completa que incorpora o efeito da entrada. Esse método (método dos coeficientes indeterminados) é o mais prático aqui.

Passo 3

Encontrar a solução homogênea. Escrevemos a equação homogênea
\ddot{y}_h+2\dot{y}_h+y_h=0.
A equação característica associada é
r^2+2r+1=0.
Fatorando, obtemos (r+1)^2=0, logo há uma raiz dupla r=-1. Para uma raiz dupla, a solução homogênea tem a forma
y_h(t)=(C_1+C_2 t)e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Procurar uma solução particular y_p para a entrada constante x(t)=1 (para t\ge 0). Tentamos y_p=A (constante). Substituindo na equação:
0+0+A=1 \quad\Rightarrow\quad A=1.
Portanto uma solução particular é
y_p(t)=1.

Passo 5

A solução geral para t\ge 0 é a soma
y(t)=1+(C_1+C_2 t)e^{-t}.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(0)=0. Substituindo t=0:
y(0)=1+(C_1+C_2\cdot 0)e^{0}=1+C_1=0.
Logo
C_1=-1.

Passo 7

Aplicar a condição inicial na derivada. Primeiro calculamos \dot{y}(t). Seja h(t)=(C_1+C_2 t)e^{-t}. Pela regra do produto,
\dot{h}(t)=C_2 e^{-t}+(C_1+C_2 t)(-e^{-t})=(C_2-C_1-C_2 t)e^{-t}.
Como \dot{y}(t)=\dot{h}(t), temos
\dot{y}(t)=(C_2-C_1-C_2 t)e^{-t}.
Em particular, em t=0:
\dot{y}(0)=C_2-C_1.
A condição dada é \dot{y}(0)=-1. Substituindo C_1=-1:
\dot{y}(0)=C_2-(-1)=C_2+1=-1.
Assim
C_2=-2.

Passo 8

Substituindo C_1=-1 e C_2=-2 na solução geral, obtemos
y(t)=1+(-1-2t)e^{-t}=1-(1+2t)e^{-t},\qquad t\ge 0.

Passo 9

Checagem rápida das condições iniciais (para me deixar mais confiante e você também):
Em t=0, y(0)=1-(1+0)e^{0}=1-1=0 (ok).
Derivando a solução final:
\dot{y}(t)=-\frac{d}{dt}\big[(1+2t)e^{-t}\big]=-(1-2t)e^{-t}=(-1+2t)e^{-t},
logo \dot{y}(0)=-1 (ok).

Passo 10

Interpretação final: a solução encontrada vale para t\ge 0, que é o intervalo em que a entrada u(t) é igual a 1. Se quiser explicitar a causa, pode-se escrever a saída como y(t)=[1-(1+2t)e^{-t}]u(t), indicando que para t<0 a saída é zero se assumirmos sistema causal e condições iniciais nulas antes do acionamento (aqui as condições iniciais foram dadas em t=0). Vamos ficar com a forma explícita para t\ge 0.

Resposta

y(t)=1-(1+2t)e^{-t},\quad t\ge 0

Exercícios relacionados