Considere um sistema descrito pela equação diferencial,
Determine a saída desse sistema para
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
com as condições iniciais
e
, e com entrada
(função degrau unitário).
O que nos pedem: determinar a saída do sistema (ou seja, encontrar a solução
para
, levando em conta que
para
).
O que nos pedem: determinar a saída
Passo 2
Método escolhido e por quê: como é uma equação linear com coeficientes constantes e entrada simples (constante para
), o caminho mais direto é usar a decomposição em solução homogênea mais solução particular:
Explico rapidamente:
resolve a equação sem o termo de entrada (lado direito zero) e contém as constantes que ajustamos com as condições iniciais;
é qualquer solução particular da equação completa que incorpora o efeito da entrada. Esse método (método dos coeficientes indeterminados) é o mais prático aqui.
Passo 3
Encontrar a solução homogênea. Escrevemos a equação homogênea
A equação característica associada é
Fatorando, obtemos
, logo há uma raiz dupla
. Para uma raiz dupla, a solução homogênea tem a forma
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Procurar uma solução particular
para a entrada constante
(para
). Tentamos
(constante). Substituindo na equação:
Portanto uma solução particular é
Passo 5
A solução geral para
é a soma
Passo 6
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
:
Logo
Passo 7
Aplicar a condição inicial na derivada. Primeiro calculamos
. Seja
. Pela regra do produto,
Como
, temos
Em particular, em
:
A condição dada é
. Substituindo
:
Assim
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, obtemos
Passo 9
Checagem rápida das condições iniciais (para me deixar mais confiante e você também):
Em ,
(ok).
Derivando a solução final:
Em
Derivando a solução final:
logo
(ok).
Passo 10
Interpretação final: a solução encontrada vale para
, que é o intervalo em que a entrada
é igual a
. Se quiser explicitar a causa, pode-se escrever a saída como
, indicando que para
a saída é zero se assumirmos sistema causal e condições iniciais nulas antes do acionamento (aqui as condições iniciais foram dadas em
). Vamos ficar com a forma explícita para
.