Usando as regras de derivação estudadas, derive as seguintes funções:
y=\frac{3}{\sqrt[3]{x}}+\frac{2}{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é y=\dfrac{3}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{2}{3x}.
    A tarefa é calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função usando potências, porque as regras de derivação ficam mais claras nesse formato. Lembre que \sqrt[3]{x}=x^{1/3} e, portanto, 1/\sqrt[3]{x}=x^{-1/3}. Também 1/x=x^{-1}. Assim:
y = 3x^{-1/3} + \frac{2}{3}x^{-1}.
Reescrever dessa forma facilita aplicar a regra da potência.

Passo 3

Agora vou lembrar a regra da potência (de forma bem direta):
  • Regra da potência: para uma função x^{n} com n qualquer número real, tem-se
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
  • Regra do fator constante: se c é constante e u(x) é função, então
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot u(x)\bigr)=c\cdot \frac{d}{dx}u(x).
Aqui n é o expoente (um número), x é a variável independente, e c é uma constante multiplicativa.

Passo 4

Aplique a regra da potência ao primeiro termo 3x^{-1/3}.
  • Derivada de x^{-1/3} pela regra da potência é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/3}\bigr)=\left(-\tfrac{1}{3}\right)x^{-1/3-1}=\left(-\tfrac{1}{3}\right)x^{-4/3}.
  • Agora multiplica pelo 3 (regra do fator constante):
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{-1/3}\bigr)=3\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right)x^{-4/3}=-1\cdot x^{-4/3}=-x^{-4/3}.

Passo 5

Aplique a regra ao segundo termo \dfrac{2}{3}x^{-1}.
  • Derivada de x^{-1} é -1\cdot x^{-2}.
  • Multiplicando pela constante \dfrac{2}{3}
\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^{-1}\right)=\frac{2}{3}\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{2}{3}x^{-2}.

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos obtemos a derivada total:
\frac{dy}{dx}=-x^{-4/3}-\frac{2}{3}x^{-2}.
Se preferir escrever com potências positivas no denominador:
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^{4/3}}-\frac{2}{3x^{2}}.
Também é possível escrever o primeiro termo com radical:
-\frac{1}{x^{4/3}}=-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^{4/3}}-\frac{2}{3x^{2}}

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