Usando as regras de derivação estudadas, derive as seguintes funções:
y=\frac{2 x^{2}-3 x}{x}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
  • Dada a função \displaystyle y=\frac{2x^{2}-3x}{x}.
  • A pergunta é: calcular a derivada de y em relação a x, isto é, encontrar \displaystyle \frac{dy}{dx}.
Informações relevantes:
  • A expressão original envolve uma divisão por x, logo a função original NÃO está definida em x=0 (porque não se pode dividir por zero).
  • Podemos trabalhar para simplificar a expressão algebraicamente para facilitar a diferenciação, lembrando que qualquer manipulação algébrica que dividir por x só é válida para x\neq 0.

Passo 2

Simplificar a função antes de derivar (método mais simples e habitual). Aqui é só dividir cada termo do numerador por x:
\frac{2x^{2}-3x}{x}=\frac{2x^{2}}{x}-\frac{3x}{x}.
Calcule termo a termo:
\frac{2x^{2}}{x}=2x,\qquad \frac{3x}{x}=3.
Portanto, para x\neq 0,
y=2x-3.
Observação importante: a igualdade y=2x-3 vale apenas para x\neq 0, porque a expressão original não existe em x=0.

Passo 3

Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (aulas rápidas e claras):
  • Regra do poder (power rule): para um inteiro n,
\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=n\,x^{n-1}.
Aqui x^{n} é a função cujo expoente é n e n aparece multiplicando x^{n-1} na derivada.
  • Regra da constante multiplicativa: se a é constante,
\frac{d}{dx}\big(a\cdot f(x)\big)=a\cdot f'(x).
  • Derivada de uma constante: se c é constante,
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0.
  • Regra da soma/diferença: a derivada de soma ou diferença é a soma ou diferença das derivadas:
\frac{d}{dx}\big(f(x)\pm g(x)\big)=f'(x)\pm g'(x).
Estas regras permitem calcular a derivada de y=2x-3 de forma direta e simples.

Passo 4

Aplicar as regras à função simplificada y=2x-3.
Escrevendo x como x^{1} para usar a regra do poder:
\frac{d}{dx}(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{1}\big)=1\cdot x^{0}=1.
Derivada de 2x (constante vezes x):
\frac{d}{dx}(2x)=2\cdot\frac{d}{dx}(x)=2\cdot 1=2.
Derivada de -3 (constante):
\frac{d}{dx}(-3)=0.
Somando (regra da diferença):
\frac{dy}{dx}=2+0=2,
válido para x\neq 0 (mesma região onde a simplificação é válida).

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, mas útil para a prova): usar a regra do quociente direto para confirmar, mostrando que dá o mesmo resultado.
Se escrevermos y=\dfrac{u}{v} com u=2x^{2}-3x e v=x, a regra do quociente diz:
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
onde u'=\dfrac{du}{dx} e v'=\dfrac{dv}{dx}.
Calcule u' e v':
u'=\frac{d}{dx}(2x^{2}-3x)=4x-3, \qquad v'=\frac{d}{dx}(x)=1.
Agora aplique a fórmula:
\frac{dy}{dx}=\frac{(4x-3)\cdot x-(2x^{2}-3x)\cdot 1}{x^{2}}.
Desenvolvendo o numerador:
(4x-3)x-(2x^{2}-3x)=4x^{2}-3x-2x^{2}+3x=2x^{2}.
Assim
\frac{dy}{dx}=\frac{2x^{2}}{x^{2}}=2,
novamente para x\neq 0. Combina perfeitamente com o resultado anterior.

Passo 6

Conclusão final e observações para a prova (ânimo!): a derivada é uma constante, muito simples no cálculo. Lembre-se sempre de verificar o domínio — aqui o valor em x=0 não pertence à função original, então a derivada não é considerada em x=0.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=2 (para x\neq 0)

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