Usando as regras de derivação estudadas, derive as seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
- Dada a função
. - A pergunta é: calcular a derivada de
em relação a , isto é, encontrar .
Informações relevantes:
- A expressão original envolve uma divisão por
, logo a função original NÃO está definida em (porque não se pode dividir por zero). - Podemos trabalhar para simplificar a expressão algebraicamente para facilitar a diferenciação, lembrando que qualquer manipulação algébrica que dividir por
só é válida para .
Passo 2
Simplificar a função antes de derivar (método mais simples e habitual). Aqui é só dividir cada termo do numerador por
:
Calcule termo a termo:
Portanto, para
,
Observação importante: a igualdade
vale apenas para
, porque a expressão original não existe em
.
Passo 3
Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (aulas rápidas e claras):
- Regra do poder (power rule): para um inteiro
,
Aqui
é a função cujo expoente é
e
aparece multiplicando
na derivada.
- Regra da constante multiplicativa: se
é constante,
- Derivada de uma constante: se
é constante,
- Regra da soma/diferença: a derivada de soma ou diferença é a soma ou diferença das derivadas:
Estas regras permitem calcular a derivada de
de forma direta e simples.
Passo 4
Aplicar as regras à função simplificada
.
Escrevendo
como
para usar a regra do poder:
Derivada de
(constante vezes
):
Derivada de
(constante):
Somando (regra da diferença):
válido para
(mesma região onde a simplificação é válida).
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, mas útil para a prova): usar a regra do quociente direto para confirmar, mostrando que dá o mesmo resultado.
Se escrevermos
com
e
, a regra do quociente diz:
onde
e
.
Calcule
e
:
Agora aplique a fórmula:
Desenvolvendo o numerador:
Assim
novamente para
. Combina perfeitamente com o resultado anterior.
Passo 6
Conclusão final e observações para a prova (ânimo!): a derivada é uma constante, muito simples no cálculo. Lembre-se sempre de verificar o domínio — aqui o valor em
não pertence à função original, então a derivada não é considerada em
.