(a) Encontre uma representação em espaço de estados para este sistema considerando q_{1}(t)=i(t), q_{2}(t)=\omega(t) e x(t)=\tau(t).
(b) Supondo que k_{T}=0, k_{\omega}=-2, R=1, L=1, J=1 e b=2,
(b.1) Determine a estabilidade do sistema justificando sua resposta.
(b.2) Obtenha os valores de corrente e velocidade para i(0)=2, \omega(0)=10 e \tau(t)=0.
(b.3) Obtenha o comportamento interno do sistema para q(0)=0 e \tau(t)=e^{-3 t}.
(b.4) Obtenha o comportamento interno do sistema para q_{1}(0)=1, q_{2}(0)=5 e \tau(t)=5 e^{-3 t}.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente o que é solicitado e os dados fornecidos.
Define-se q_{1}(t)=i(t), q_{2}(t)=\omega(t) e a entrada x(t)=\tau(t).
As perguntas:
(a) Encontrar uma representação em espaço de estados usando os estados q_{1},q_{2} e a entrada x.
(b) Com os valores k_{T}=0,\;k_{\omega}=-2,\;R=1,\;L=1,\;J=1,\;b=2:
(b.1) Determinar a estabilidade do sistema (justificar).
(b.2) Calcular i(t) e \omega(t) para i(0)=2,\;\omega(0)=10 e \tau(t)=0.
(b.3) Calcular o comportamento interno para q(0)=0 (ou seja i(0)=0,\omega(0)=0) e \tau(t)=e^{-3t}.
(b.4) Calcular o comportamento interno para q_{1}(0)=1,\;q_{2}(0)=5 e \tau(t)=5 e^{-3t}.
Todas as constantes e funções citadas acima são as únicas informações necessárias. A partir da equação, espera-se escrever \dot q(t)=A q(t)+B x(t) e resolver os casos numéricos solicitados.]
Passo 2
Montagem da representação em espaço de estados (parte (a)), passo a passo e explicando conceitos:
Queremos escrever \dot q = A q + B x com q=\begin{pmatrix}q_{1}\\[2pt] q_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i\\[2pt]\omega\end{pmatrix} e x=\tau.
Começamos isolando as derivadas nas equações dadas.
A matriz A reúne os coeficientes que multiplicam os estados q_{1} e q_{2} nas equações das derivadas. Cada linha corresponde à equação de evolução de um estado.
O vetor B reúne como a entrada x (aqui \tau) entra nas equações; no modelo dado só aparece em \dot q_{2}, por isso o primeiro componente de B é zero.
Essa forma \dot q = A q + B x é útil porque nos permite estudar estabilidade (valores próprios de A), e escrever solução explícita para respostas livres e forçadas.]
Passo 3
Aplicação dos valores numéricos dados (começo da parte (b)) e obtenção de A e B numéricos.
Os valores dados: k_{T}=0,\;k_{\omega}=-2,\;R=1,\;L=1,\;J=1,\;b=2.
Comentário curto: a matriz A é triangular superior, o que simplifica bastante a solução do sistema (podemos primeiro resolver para \omega e depois para i).]
Passo 4
Estabilidade do sistema (parte (b.1)) — procedimento e justificação.
Critério usado: para um sistema linear sem entrada, \dot q = A q, o sistema é assintoticamente estável se todos os autovalores (valores próprios) de A tiverem parte real negativa. Essa é a definição de matriz Hurwitz; para sistemas de tempo contínuo, autovalores com parte real negativa implicam que as soluções tendem a zero quando t\to\infty.
Como A é triangular superior, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal:
\lambda_{1}=-1,\qquad \lambda_{2}=-2.
Ambos têm parte real negativa. Portanto o sistema é assintoticamente estável (estável no sentido de Lyapunov e as trajetórias vão para zero na ausência de entrada).
Conclusão (b.1): sistema assintoticamente estável (ou estável exponentialmente), pois \lambda_{1}=-1,\;\lambda_{2}=-2.
Passo 5
Resposta para (b.2): resolver o sistema para \tau(t)=0 (entrada nula) e condições iniciais i(0)=2,\;\omega(0)=10.
Esquema de solução (aproveitando triangularidade):
Resolver primeiro \omega pois sua equação não depende de i quando \tau=0: