A energia (em MeV) de uma partícula (cuja energia de repouso é 1550 MeV ) que tem comprimento de onda de 0,8 \mathrm{fm} é aproximadamente?.
(a) 39
(b) 55
(c) 1550
(d) 2192
(e) 3100

Passo 1

O enunciado pede: qual é a energia (em MeV) de uma partícula cuja energia de repouso é \,1550\\ \text{MeV}\, e que tem comprimento de onda \,0{,}8\\ \text{fm}\,.
Informações dadas:
E_{0}=1550\\ \text{MeV}
\lambda=0{,}8\\ \text{fm}
Queremos a energia total \,E (em MeV) da partícula.

Passo 2

Primeiro, precisamos obter o momento linear p a partir do comprimento de onda usando a relação de De Broglie. A relação é
\lambda=\frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck e p é o momento (isto vale tanto em regime não relativístico quanto relativístico quando p é o momento relativístico). É conveniente trabalhar com a quantidade p c (momento multiplicado por c), pois energias costumam ser dadas em unidades de MeV. Multiplicando a relação por c temos
p c = \frac{h c}{\lambda}.
Para calcular numericamente usamos a constante
\hbar c \approx 197{,}3\\ \text{MeV}\cdot\text{fm},
portanto
h c = 2\pi \hbar c \approx 1239{,}84\\ \text{MeV}\cdot\text{fm}.
Essa constante nos permite converter comprimento de onda em \text{fm} diretamente para p c em MeV.

Passo 3

Calculemos p c com \lambda=0{,}8\\ \text{fm}:
p c = \frac{h c}{\lambda} \approx \frac{1239{,}84}{0{,}8}\\ \text{MeV} \approx 1549{,}8\\ \text{MeV}.
Arredondando de forma conveniente isso dá p c \approx 1550\\ \text{MeV}. (Usando h c\approx 1240\\ \text{MeV}\cdot\text{fm} daria exatamente 1240/0{,}8=1550\\ \text{MeV}.)

Passo 4

Agora usamos a relação relativística entre energia total, momento e energia de repouso:
E=\sqrt{(p c)^{2} + (m c^{2})^{2}}.
Aqui m c^{2} é a energia de repouso (dada no enunciado como E_{0}=1550\\ \text{MeV}), e p c já calculado é o instante-cinético em unidades de MeV.

Passo 5

Substituindo os valores aproximados (p c)\approx 1550\\ \text{MeV} e m c^{2}=1550\\ \text{MeV}:
E \approx \sqrt{1550^{2} + 1550^{2}} = 1550\sqrt{2}.
Agora calculamos \sqrt{2}\approx 1{,}41421356. Multiplicando:
1550\sqrt{2} \approx 1550\times 1{,}4142 \approx 1550 + 1550\times 0{,}4142.
Calcule 1550\times 0{,}4142 \approx 620{,}0 + 22{,}01 = 642{,}01. Somando:
E \approx 1550 + 642{,}01 \approx 2192{,}01\\ \text{MeV}.
Arredondando para três algarismos significativos obtemos cerca de \,2192\\ \text{MeV}.

Passo 6

Portanto a energia da partícula é aproximadamente \,2192\\ \text{MeV}, que corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) 2192\\ \text{MeV}

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