Considere um sistema descrito pela lagrangiana
L=12(dotx^2+doty^2)-12 omega0^2(x^2+y^2)+alpha x y
Ela corresponde a dois sistemas lineares idênticos de frequência própria omega0 e ligados por uma interação -alpha x y. Obtenha as equações de movimento e as frequências próprias.

Passo 1

O enunciado apresenta dois osciladores harmônicos idênticos de massa unitária e frequência própria omega0, acoplados por um termo de interação -alpha x y. Precisamos usar as equações de Euler–Lagrange para obter as equações de movimento e, em seguida, determinar as frequências próprias do sistema por meio da busca de modos normais.

Passo 2

Aplicando as equações de Euler–Lagrange a cada coordenada, lembrando que
L=tfrac12l(dot x^2+dot y^2r)-underbracel[tfrac12omega0^2(x^2+y^2)-alpha,x,yr]V(x,y),
temos para x:
ddtl(partial Lpartialdot xr)-partial Lpartial x=0 Longrightarrow ddot x + omega0^2,x - alpha,y = 0,
e de modo análogo para y:
ddot y + omega0^2,y - alpha,x = 0

Passo 3

Para achar as frequências próprias, procuramos soluções de modo normal do tipo
x(t)=A,e^iomega t, y(t)=B,e^iomega t
Substituindo nas equações de movimento obtemos o sistema linear
l(-omega^2+omega0^2r)A-alpha,B=0, l(-omega^2+omega0^2r)B-alpha,A=0

Passo 4

Para existência de solução não trivial (A,B)neq(0,0), exigimos que o determinante da matriz dos coeficientes se anule:
det -omega^2+omega0^2 & -alpha -alpha & -omega^2+omega0^2 =0 ;Longrightarrow; l(-omega^2+omega0^2r)^2-alpha^2=0
Daí
omega^2=omega0^2pmalpha,
isto é, as frequências próprias são omega+=raizomega0^2+alpha e omega-=raizomega0^2-alpha.

Resposta

Equações de movimento:
ddot x + omega0^2x - alpha y = 0, ddot y + omega0^2y - alpha x = 0
Frequências próprias:
omega+=raizomega0^2+alpha, omega-=raizomega0^2-alpha

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