Uma pedra de 3,0 kg está amarrada a uma corda que tem 5,5 m de comprimento. Quando a corda está formando um ângulo de 45^circ com a horizontal, a pedra é projetada perpendicularmente à corda, afastando-se do solo. Sua velocidade é de 9 m / s quando passa pelo ponto mais baixo de sua trajetória. (a) Determine a velocidade da pedra no momento em que foi lançada. (b) Calcule o maior ângulo formado com a vertical, durante o movimento da pedra. (c) Ache a energia mecânica total do sistema, supondo o ponto mais baixo da trajetória como sendo o zero da energia potencial gravitacional. Resposta: (a) 7 m / s. (b) 75,5^circ. (c) 121,5 J.

Passo 1

O enunciado apresenta uma pedra de massa m=3,0kg presa a uma corda de comprimento L=5,5m. No instante do lançamento a corda forma um ângulo de 45^circ com a horizontal e a pedra é impulsionada perpendicularmente à corda. Ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória sua velocidade é vb=9,0m/s. Precisamos determinar:
– (a) a velocidade inicial vlan no instante do lançamento;
– (b) o maior ângulo phimax que a corda faz com a vertical;
– (c) a energia mecânica total E (tendo como zero de energia potencial o ponto mais baixo).
Para isso usaremos conservação de energia mecânica e a relação geométrica entre ângulo e altura.

Passo 2

Primeiro, calculamos a altura De<a h do ponto de lançamento em relação ao ponto mais baixo. O ângulo dado é em relação à horizontal, alphah=45^circ, então o ângulo correspondente à vertical é
phi = 90^circ - alphah = 45^circ
A altura é dada por
De<a h = Ll(1 - cosphir)
Substituindo valores,
De<a h = 5,5,(1-cos45^circ)approx 5,5,(1-0,7071)approx1,61m

Passo 3

Aplicamos conservação de energia entre o instante do lançamento e o ponto mais baixo (a tensão não realiza trabalho).
12 m,vlan^2 ;+; m g,De<a h ;=;12 m,vb^2
Cancelando m e isolando vlan,
vlan = raiz,vb^2 ;-;2g,De<a h,
Com vb=9,0m/s, g=9,8m/s^2 e De<a happrox1,61m,
vlan = raiz,9,0^2 - 2cdot9,8cdot1,61,approxraiz81 -31,56approxraiz49,44approx7,0m/s

Passo 4

No movimento a partir do ponto mais baixo até o máximo afastamento, a pedra para momentaneamente quando atinge phimax. Usamos conservação entre base e topo:
12 m,vb^2 ;=; m g,Ll(1-cosphimaxr)
Cancelando m e isolando cosphimax,
cosphimax = 1 - vb^22gL
Substituindo vb=9,0, g=9,8, L=5,5:
cosphimax = 1 - 812cdot9,8cdot5,5approx1 - 0,752approx0,248,
phimax = arccos(0,248)approx75,5^circ

Passo 5

A energia mecânica total, tomando o ponto mais baixo como U=0, é apenas a energia cinética ali:
E = 12 m,vb^2 = 12 cdot3,0cdot9,0^2 =121,5J

Resposta

(a) 7,0m/s
(b) 75,5^circ
(c) 121,5J

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