Encontre a transformada Z da sequência numérica gerada amostrando-se a função temporal e(t)=t, a cada T segundos, a partir de t=0. Considerar e(t)=0, para t<0.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função contínua
e(t)= t, & t>=0, 0, & t<0,
e amostramos a cada T segundos, gerando a sequência e[n]. O conteúdo aqui é Transformada Z, e vamos precisar usar a definição
Ze[n]=sumn=0^inftye[n],z^-n

Passo 2

Identificamos a sequência amostrada. Para n>=0, t=nT e logo
e[n]=e(nT)=nT

Passo 3

Aplicando a definição da Transformada Z em e[n]:
E(z)=sumn=0^inftye[n],z^-n =sumn=0^infty(nT),z^-n =Tsumn=0^inftyn,z^-n

Passo 4

Para calcular sumn=0^inftyn,z^-n, lembramos que a série geométrica
sumn=0^inftyx^n=11-x,
para |x|<1. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
sumn=0^inftyn,x^n-1=1(1-x)^2 Longrightarrow sumn=0^inftyn,x^n=x(1-x)^2
Fazendo x=z^-1, temos
sumn=0^inftyn,z^-n =z^-1l(1-z^-1r)^2

Passo 5

Substituindo no E(z):
E(z)=T;z^-1l(1-z^-1r)^2
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por z^2:
E(z) =T;z^-1,z^2(1-z^-1)^2,z^2 =T;z(z-1)^2

Resposta

E(z) =ZnT =T,z^-1(1-z^-1)^2 ;=; T,z(z-1)^2, com região de convergência |z|>1 ãê

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