Considere um sistema composto de dois spins 1 / 2. Para t<0 o hamiltoniano não depende do spin e pode ser tomado como zero. Para t>0, o hamiltoniano é dado por
onde \Delta é uma constante. Suponha que para t<0 o sistema se encontra no estado |+,-\rangle.
7- Determine, em função do tempo, a probabilidade de encontrar o sistema em cada um dos estados: |+,+\rangle,|+,-\rangle,|-,+\rangle e |-,-\rangle : (a) Resolvendo o problema de forma exata. (b) Usando teoria de perturbações dependente do tempo, em primeira ordem, onde \hat{H} é considerado como uma perturbação ligada em t=0. Sob que condições (b) fornece resultados corretos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
Sistema: dois spins 1/2.
Para t<0: o Hamiltoniano pode ser tomado como zero.
Estado inicial (para t<0, e portanto em t=0^+ também): |+,-\rangle (primeiro spin em +, segundo em -).
Perguntas:
(a) Determinar, em função do tempo, a probabilidade de encontrar o sistema em cada um dos estados |+,+\rangle,\;|+,-\rangle,\;|-,+\rangle,\;|-,-\rangle resolvendo o problema exatamente.
(b) Fazer o mesmo usando teoria de perturbação dependente do tempo em primeira ordem, tratando \hat{H} como perturbação ligada em t=0. Indicar sob que condições o resultado perturbativo é válido.
Passo 2
Ideia física e diagonalização rápida (aulas práticas): para dois spins 1/2 é muito prático usar os autovalores do momento angular total. Definimos \hat{\mathbf{S}}=\hat{\mathbf{S}}_{1}+\hat{\mathbf{S}}_{2}. Há a identidade útil
Explicando: \hat{\mathbf{S}}^{2} é o operador do quadrado do momento total; \hat{\mathbf{S}}_{1}^{2} e \hat{\mathbf{S}}_{2}^{2} atuam apenas em cada spin. Para spin 1/2 temos
Os autovalores de \hat{\mathbf{S}}^{2} são S(S+1)\hbar^{2} com S=1 (triplete) ou S=0 (singlete). Substituindo na expressão de \hat{\mathbf{S}}_{1}\cdot\hat{\mathbf{S}}_{2}:
Para o subespaço triplete (S=1): \hat{\mathbf{S}}_{1}\cdot\hat{\mathbf{S}}_{2} tem autovalor
Conclusão prática: a base natural para diagonalizar \hat{H} é a base \{|1,1\rangle,|1,0\rangle,|1,-1\rangle,|0,0\rangle\} (triplete e singlete), com energias \Delta para todos os estados do triplete e -3\Delta para o singlete.
Passo 3
Expressar o estado inicial |+,-\rangle na base singlete/triplete (essa mudança de base é padrão e essencial):
As relações conhecidas (e explico por que: combinações simétricas/antissimétricas do par) são
As amplitudes para |+,+\rangle e |-,-\rangle permanecem zero, pois o estado inicial não tinha componente nesses subespaços e \hat{H} (diagonal em singlete/triplete) não cria componente nesses níveis a partir de |1,0\rangle e |0,0\rangle.
Passo 5
Probabilidades exatas (parte (a)): as fases globais somem ao tomar módulo ao quadrado. Assim as probabilidades são
Comentário prático: a probabilidade oscila com período T tal que 2\Delta T/\hbar=\pi, ou seja T=\dfrac{\pi\hbar}{2\Delta}. Fisicamente, o sistema oscila entre |+,-\rangle e |-,+\rangle por efeito do termo de troca \hat{\mathbf{S}}_{1}\cdot\hat{\mathbf{S}}_{2}.
Passo 6
Teoria de perturbação dependente do tempo (primeira ordem): explicando a ferramenta e aplicando.
Fórmula de primeira ordem (explicando cada termo): se o Hamiltoniano total para t>0 é \hat{H}=\hat{V} ligado em t=0 (ou seja \hat{V}(t)=\Theta(t)\hat{H}), então a amplitude de transição, em primeira ordem, de um estado inicial |i\rangle para |f\rangle é
onde \omega_{fi}=(E_{f}^{(0)}-E_{i}^{(0)})/\hbar e E^{(0)} são as energias do Hamiltoniano não perturbado. No nosso caso o Hamiltoniano não perturbado para t<0 era zero, então E_{f}^{(0)}=E_{i}^{(0)}=0 e \omega_{fi}=0. Assim a exponencial é 1 e a integral dá um fator t. Logo
Agora calculo os elementos de matriz \langle f|\hat{H}|i\rangle na base produto \{|+,+\rangle,|+,-\rangle,|-,+\rangle,|-,-\rangle\}. Para isso é prático usar
mas atenção: a probabilidade de permanecer em |+,-\rangle até ordem correta é melhor obtida impondo conservação de probabilidade até a ordem considerada:
que coincide com o resultado perturbativo em primeira ordem para P_{-,+}. Portanto a teoria de perturbação em primeira ordem reproduz corretamente o termo dominante para pequenos tempos.
Condição de validade prática: a aproximação perturbativa em primeira ordem é válida quando a quantidade adimensional que controla a expansão é pequena, isto é quando
Física: isto significa “tempos curtos” tais que as probabilidades de transição permaneçam pequenas. Aqui não podemos usar a condição usual “perturbação pequena em relação às diferenças de energia do Hamiltoniano não perturbado” porque o Hamiltoniano não perturbado tem todas as energias iguais (zero) — há degenerescência — então a teoria dá termos lineares no tempo nas amplitudes (e termos quadráticos nas probabilidades). Por isso a regra prática é: primeiros instantes após o ligar da perturbação, com \dfrac{2\Delta t}{\hbar}\ll 1.
Observação sobre ordem da expansão: amplitudes de transição aparecem na primeira ordem (proporcionais a t), mas probabilidades surgem na ordem quadrática; para controlar correções na probabilidade é necessário comparar com termos de ordem superior em \Delta t/\hbar.