Considere um sistema de dois sólidos de Einstein, A e B, cada um contendo 10 osciladores, compartilhando um total de 20 unidades de energia. Assume que os sólidos estão minimamente acoplados e que a energia é fixada.
(a) Quantos macroestados diferentes estão disponíveis para o sistema?
(b) Quantos microestados diferentes estão disponíveis para o sistema.
(c) Assumindo que o sistema esteja em equilíbrio, qual é a probabilidade de se encontrar toda a energia no sólido A ?
(d) Qual é a probabilidade de encontrar exatamente metade da energia no sólido A?

Passo 1

O enunciado descreve dois sólidos de Einstein, A e B, cada um com NA=NB=10 osciladores, compartilhando qrm tot=20 quanta de energia fixos.
Conteúdo: contagem de macrostados e microstados em sólidos de Einstein e cálculo de probabilidades em equilíbrio.
Fórmula chave: a multiplicidade de um sólido com N osciladores e q quanta é
Omega(q,N)=binomq+N-1q,
O total de microestados do sistema combinado é
Omegarm tot=binomqrm tot+NA+NB-1qrm tot
Em equilíbrio cada microstado é igualmente provável, então a probabilidade de um macroestado qA é
P(qA)=Omega(qA,NA),Omega(qrm tot-qA,NB)Omegarm tot

Passo 2

Os macrostados são definidos pelo número qAin0,1,2,dots,20. Logo existem
20-0+1 = 21
macrostados diferentes.

Passo 3

O número total de microestados do sistema é
Omegarm tot =binomqrm tot+NA+NB-1qrm tot =binom20+10+10-120 =binom3920

Passo 4

Probabilidade de toda a energia ficar em A ( qA=20):
P(qA=20) =Omega(20,10),Omega(0,10)Omegarm tot =binom20+10-120;binom0+10-10binom3920 =binom2920binom3920
Numericamente binom2920=10015005 e binom3920=68923264410,
então
P(qA=20)approx1,0015times10^76,8923times10^10approx1,45times10^-4

Passo 5

Probabilidade de metade da energia em A ( qA=10):
P(qA=10) =Omega(10,10),Omega(10,10)Omegarm tot =l[binom10+10-110r]^2binom3920 =l[binom1910r]^2binom3920
Como binom1910=92378,
P(qA=10)approx(9,2378times10^4)^26,8923times10^10 approx0,124

Resposta

(a) 21
(b) binom3920
(c) binom2920binom3920approx1,45times10^-4
(d) l[binom1910r]^2binom3920approx0,124

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