Use um computador para produzir uma tabela e um gráfico para o caso em que um sólido de Einstein contenha 200 osciladores, o outro sólido contenha 100 osciladores, e há no total 100 unidades de energia. Qual é o macroestado mais provável e qual é esta probabilidade? Qual é o macroestado de menor probabilidade e qual é esta probabilidade?

Passo 1

O enunciado trata de dois sólidos de Einstein acoplados que trocam quanta de energia. Um sólido (A) tem NA=200 osciladores, o outro (B) tem NB=100, e o total de quanta é q=100. Cada macroestado é caracterizado por ,qA quanta em A e ,qB=q-qA em B, e queremos a probabilidade de cada macroestado.

Passo 2

A multiplicidade de um sólido de Einstein com N osciladores e q quanta é
Omega(N,q)=binomN+q-1q
Para um dado qA em A e qB=q-qA em B, a multiplicidade total é
Omegarm tot(qA) =Omega(NA,qA),Omega(NB,q-qA)

Passo 3

Para transformar em probabilidade, normalizamos por todas as possibilidades qA=0,1,dots,100:
P(qA) =Omega(NA,qA),Omega(NB,100-qA) sumk=0^100Omega(NA,k),Omega(NB,100-k)
Usando um computador, gera-se uma tabela e o gráfico de P(qA) vs.\ qA.

Passo 4

Pela simetria e pelo fato de a energia se repartir proporcionalmente ao número de osciladores, o valor médio é
lang<= qArang<= =NANA+NB,q =200300times100 =66,67
O pico da distribuição cai em torno de qA=67.

Passo 5

A probabilidade máxima obtida (em qA=67) pode ser aproximada por uma distribuição gaussiana com variância
sigma^2 approx q,NA,NB(NA+NB)^2l(1+qNA+NBr) approx29,6,
de modo que
Pmaxapprox1raiz2pi,sigma^2 approx0,073

Passo 6

O macroestado de menor probabilidade é o extremo qA=0,;qB=100. Nesse caso
P(0) =binom200-10,binom100+100-1100binom399100 =1cdotbinom199100binom399100 approx2,6times10^-27

Resposta

O macroestado mais provável é (qA=67,qB=33) com
Pmaxapprox7,3times10^-2
O menos provável é (qA=0,qB=100) com
Pminapprox2,6times10^-27

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