Suponha que você arremesse 1000 moedas.
Qual é a probabilidade de obter exatamente 500 caras e 500 coroas? (Dica: Primeiro escreva uma fórmula para o número total de possível resultados. Então, para determinar a multiplicidade do estado 500-500, use a aproximação de Stirling).

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de obter exatamente 500 caras e 500 coroas em 1000 arremessos de moeda.
O conteúdo principal é distribuição binomial e aproximação de Stirling para factorial.
Vamos primeiro escrever o número total de resultados possíveis e a multiplicidade do estado 500-500.

Passo 2

Cada arremesso tem 2 resultados possíveis (cara ou coroa), logo o número total de resultados em 1000 arremessos é
2^1000

Passo 3

A multiplicidade do estado “500 caras e 500 coroas” é o número de maneiras de escolher 500 arremessos de um total de 1000 para dar cara, ou seja
binom1000500 =1000!500!;500!

Passo 4

Para aproximar binom1000500 usamos a fórmula de Stirling
n!approx n^n e^-nraiz2pi n
Assim,
1000! approx 1000^1000e^-1000raiz2picdot1000, 500! approx 500^500e^-500raiz2picdot500
Fazendo o quociente
binom1000500 approx 1000^1000e^-1000raiz2picdot1000 l(500^500e^-500raiz2picdot500r)^2 = 1000^1000500^1000 e^-1000e^-1000 raiz2picdot10002picdot500 = 2^1000,1raizpicdot500

Passo 5

A probabilidade desejada é
P=binom10005002^1000 approx2^10002^1000raizpicdot500 =1raizpicdot500
Calculando numericamente,
raizpicdot500approxraiz1570,8approx39,63,
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Papprox139,63approx0,0252

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 500 caras e 500 coroas em 1000 lançamentos é aproximadamente 0,0252 (ou cerca de 2,52%).

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