Considere um sistema de 2 elétrons não interagentes em seus estados fundamentais em um poço unidimensional de potencial infinito. (b) Encontre a autofunção para o sistema no estado fundamental. Essa autofunção cumpre o príncipio da indistinguibilidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz: “Temos dois elétrons não-­interagentes num poço de potencial infinito unidimensional, cada um no seu estado fundamental. (b) Pede a autofunção total do sistema no estado fundamental e pergunta se ela satisfaz o princípio de indistinguibilidade.”
Conteúdo: Mecânica Quântica de partículas idênticas (fermions) num poço infinito. Vamos precisar da solução de partícula única no poço, do princípio de exclusão de Pauli (fermions precisam de função de onda total antissimétrica) e de como montar o estado de spin (singlete vs triplete).

Passo 2

Primeiro, qual a onda estacionária de uma partícula só no poço de largura L?
psin(x) = raiz2L;sin!l(npi xLr), En = n^2pi^2hbar^22mL^2
No estado fundamental de uma partícula, psi1(x)=raiz2Lsin!l(pi xLr) , então

Passo 3

Agora o sistema de dois elétrons. Como são férmions, a função de onda total Psirm esp(x1,x2) = psi1(x1),psi1(x2) tem que ficar antissimétrica ao trocar (1)↔(2). Ela é produto da parte espacial com a de spin .
No estado de menor energia espacial possível, ambos ocupam . Logo a parte espacial é simplesmente
Repare que essa função é simétrica em trocar .

Passo 4

Para que o total seja antissimétrico, a parte de spin tem que ser antissimétrica. O único estado de dois spins-½ antissimétrico é o singlete:
Logo a autofunção total do estado fundamental é

Resposta

A autofunção total do estado fundamental é
Sim, ela satisfaz o princípio da indistinguibilidade: ao trocar as partículas, a parte espacial simétrica e a parte de spin antissimétrica garantem que Psi(x1,s1;x2,s2) =psi1(x1),psi1(x2),1raiz2l(ketuparrow1downarrow2-ketdownarrow1uparrow2r) , como deve ser para férmions.

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