Resolva o sistema dd t u(t)=A u(t) onde A=[ll1 & 1 0 & 2] sujeito à condição inicial u(t=0)=(0,1).

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema de ODEs
com
sujeito a
Vamos resolver primeiro a equação de (u_2].

Passo 2

A equação para u2 é
u2'(t)=2,u2(t),
que é uma ODE linear homogênea de coeficiente constante. A solução geral é
u2(t)=C,e^2t
Impondo u2(0)=1 C=1, logo
u2(t)=e^2t

Passo 3

Agora u1 satisfaz
u1'(t)-u1(t)=u2(t)=e^2t
Usamos o fator integrante mu(t)=e^-t, pois
ddtl(e^-tu1(t)r) =e^-tu1'(t)-e^-tu1(t) =e^-te^2t=e^t
Integrando de 0 a t e usando u1(0)=0,
e^-tu1(t)=integral0^te^s,ds =e^t-1 Longrightarrow u1(t)=e^t(e^t-1)=e^2t-e^t

Passo 4

Portanto a solução do sistema é
u(t)=l(u1(t),u2(t)r) =l(e^2t-e^t,,e^2tr)

Resposta

u(t)=l(e^2t-e^t,,e^2tr)

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