Calcule
, onde:
e
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde a campo vetorial e a curva são dadas por:
-
. -
, para .
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A variável
é o parâmetro da curva, varia de a . - Na curva,
e . - O objetivo é obter um número (a integral definida) que é a circulação de
ao longo de .
Passo 2
Fórmula prática para calcular integral de linha de um campo vetorial por parametrização:
Se
é uma parametrização de
para
, então
Explicando cada símbolo:
-
é o vetor posição na curva; aqui . -
é a derivada componente a componente; dá a velocidade ao longo da curva. -
é o campo avaliado nos pontos da curva (substituir e por funções de ). - O produto escalar
entre e gera uma função de que integraremos de até .
Passo 3
Vamos avaliar o campo
ao longo da curva substituindo
e
:
Expliquei: o componente
é
que vira
; o componente
é
que vira
.
Passo 4
Calcular a derivada da parametrização
:
Isso vem de derivar componente a componente:
e
.
Passo 5
Agora o produto escalar
é
Desenvolvendo:
Observação útil sobre trigonometria:
. Podemos usar essa identidade para facilitar a integração.
Passo 6
Portanto a integral de linha vira a integral de uma função de
em
:
Passo 7
Integramos termo a termo. Primeiro escrevo a primitiva (anti-derivada) de cada parte:
- Para
a primitiva é
- Para
uso integração por partes. Regra: se escolho e , então e . Logo
(porque
, e o sinal menos transforma em
.)
- Para
: sabemos . Multiplicando por obtemos
Passo 8
Somando as primitivas dos três termos, uma antiderivada comum é
Portanto
Passo 9
Calculo
e
passo a passo.
Para
:
Somando:
Para
:
Somando:
Passo 10
Subtraindo:
Breve observação final (como consolidação didática): o campo
não é conservativo (verificação rápida:
e
, não coincidem), então era necessário fazer a integral ao longo da parametrização (não vale aplicar diretamente teorema de potencial).