Calcule
\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}
, onde:
\vec{F}=x^{2} \hat{i}+(x-y) \hat{j} e \gamma(t)=(t, \sin t), 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{\gamma} \vec{F}\cdot d\vec{r},
onde a campo vetorial e a curva são dadas por:
  • \vec{F}(x,y)=x^{2}\,\hat{i}+(x-y)\,\hat{j}.
  • \gamma(t)=(t,\sin t), para 0\le t\le 2\pi.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A variável t é o parâmetro da curva, varia de 0 a 2\pi.
  • Na curva, x=t e y=\sin t.
  • O objetivo é obter um número (a integral definida) que é a circulação de \vec{F} ao longo de \gamma.

Passo 2

Fórmula prática para calcular integral de linha de um campo vetorial por parametrização:
Se \vec{r}(t) é uma parametrização de \gamma para a\le t\le b, então
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{r}(t) é o vetor posição na curva; aqui \vec{r}(t)=(t,\sin t).
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada componente a componente; dá a velocidade ao longo da curva.
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado nos pontos da curva (substituir x e y por funções de t).
  • O produto escalar \cdot entre \vec{F}(\vec{r}(t)) e \vec{r}\,'(t) gera uma função de t que integraremos de a até b.

Passo 3

Vamos avaliar o campo \vec{F} ao longo da curva substituindo x=t e y=\sin t:
\vec{F}(\vec{r}(t))=\big(t^{2}\big)\,\hat{i}+\big(t-\sin t\big)\,\hat{j}.
Expliquei: o componente i é x^{2} que vira t^{2}; o componente j é x-y que vira t-\sin t.

Passo 4

Calcular a derivada da parametrização \vec{r}(t)=(t,\sin t):
\vec{r}\,'(t)=(1,\cos t).
Isso vem de derivar componente a componente: \dfrac{d}{dt}t=1 e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.

Passo 5

Agora o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) é
\big(t^{2},\,t-\sin t\big)\cdot(1,\cos t)=t^{2}\cdot 1+(t-\sin t)\cos t.
Desenvolvendo:
t^{2}+(t-\sin t)\cos t = t^{2}+t\cos t -\sin t\cos t.
Observação útil sobre trigonometria: \sin t\cos t=\dfrac{1}{2}\sin 2t. Podemos usar essa identidade para facilitar a integração.

Passo 6

Portanto a integral de linha vira a integral de uma função de t em [0,2\pi]:
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi}\left(t^{2}+t\cos t-\sin t\cos t\right)dt =\int_{0}^{2\pi}\left(t^{2}+t\cos t-\tfrac{1}{2}\sin 2t\right)dt.

Passo 7

Integramos termo a termo. Primeiro escrevo a primitiva (anti-derivada) de cada parte:
  1. Para \displaystyle \int t^{2}\,dt a primitiva é
\frac{t^{3}}{3}.
  1. Para \displaystyle \int t\cos t\,dt uso integração por partes. Regra: se escolho u=t e dv=\cos t\,dt, então du=dt e v=\sin t. Logo
\int t\cos t\,dt = t\sin t - \int \sin t\,dt = t\sin t + \cos t.
(porque \int \sin t\,dt=-\cos t, e o sinal menos transforma em +\cos t.)
  1. Para \displaystyle -\tfrac{1}{2}\int \sin 2t\,dt: sabemos \int \sin 2t\,dt = -\tfrac{1}{2}\cos 2t. Multiplicando por -\tfrac{1}{2} obtemos
-\tfrac{1}{2}\int \sin 2t\,dt = -\tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\cos 2t\right)=\tfrac{1}{4}\cos 2t.

Passo 8

Somando as primitivas dos três termos, uma antiderivada comum é
G(t)=\frac{t^{3}}{3} + \big(t\sin t + \cos t\big) + \frac{1}{4}\cos 2t.
Portanto
\int_{0}^{2\pi}\left(t^{2}+t\cos t-\tfrac{1}{2}\sin 2t\right)dt = G(2\pi)-G(0).

Passo 9

Calculo G(2\pi) e G(0) passo a passo.
Para t=2\pi:
\frac{(2\pi)^{3}}{3} = \frac{8\pi^{3}}{3},
t\sin t = 2\pi\sin(2\pi)=0,
\cos t = \cos(2\pi)=1,
\frac{1}{4}\cos 2t=\frac{1}{4}\cos(4\pi)=\frac{1}{4}.
Somando: G(2\pi)=\dfrac{8\pi^{3}}{3} + 0 + 1 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8\pi^{3}}{3} + \dfrac{5}{4}.
Para t=0:
\frac{0^{3}}{3}=0,\qquad 0\cdot\sin 0=0,\qquad \cos 0=1,\qquad \frac{1}{4}\cos 0=\frac{1}{4}.
Somando: G(0)=0+0+1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}.

Passo 10

Subtraindo:
G(2\pi)-G(0)=\left(\dfrac{8\pi^{3}}{3}+\dfrac{5}{4}\right)-\dfrac{5}{4}=\dfrac{8\pi^{3}}{3}.
Breve observação final (como consolidação didática): o campo \vec{F} não é conservativo (verificação rápida: \partial P/\partial y=\partial(x^{2})/\partial y=0 e \partial Q/\partial x=\partial(x-y)/\partial x=1, não coincidem), então era necessário fazer a integral ao longo da parametrização (não vale aplicar diretamente teorema de potencial).

Resposta

\dfrac{8\pi^{3}}{3}

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