(4,0) Resolva os seguintes problemas de valor inicial utilizando a transformada de Laplace. Apresente a solução final no domínio do tempo.
y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+2 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1, \quad y^{\prime \prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceira ordem com condições iniciais usando a transformada de Laplace e apresentar a solução final em função do tempo. Dados fornecidos (copiados do enunciado):
  • Equação: y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+2y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=0,\qquad y^{\prime}(0)=1,\qquad y^{\prime\prime}(0)=0.
O que se pede: encontrar y(t) para t\ge0 usando a transformada de Laplace.

Passo 2

Breve revisão da transformada de Laplace e das fórmulas de derivadas (para que você entenda cada passo).
  • Definição: para uma função y(t) com crescimento adequado, a transformada de Laplace é a função Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
  • Transformada de derivadas (fórmulas que vamos usar). Se \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), então: \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{y^{\prime\prime\prime}(t)\}=s^3Y(s)-s^2 y(0)-s y'(0)-y''(0).
Explicando de forma simples: essas fórmulas transformam derivadas em polinômios em s multiplicando Y(s) e subtraem termos que dependem das condições iniciais — por isso a Laplace é ótima para PVI (problemas de valor inicial).

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação inteira e substituir as condições iniciais.
  • Tomando Laplace em cada termo e usando as fórmulas do passo anterior, com y(0)=0,\\ y'(0)=1,\\ y''(0)=0, obtemos: \mathcal{L}\{y^{\prime\prime\prime}\}=s^3Y(s)-s\cdot 1 = s^3Y(s)-s,
\mathcal{L}\{3y^{\prime\prime}\}=3\big(s^2Y(s)-1\big)=3s^2Y(s)-3,
\mathcal{L}\{4y^{\prime}\}=4\big(sY(s)-0\big)=4sY(s),
\mathcal{L}\{2y\}=2Y(s).
  • Somando e impondo que a transformada do lado direito é zero, temos: \big(s^3+3s^2+4s+2\big)Y(s) - (s+3)=0.
  • Isolando Y(s): Y(s)=\frac{s+3}{s^3+3s^2+4s+2}.

Passo 4

Fatorar o denominador e identificar a forma conveniente para usar a tabela da Laplace.
  • Procuramos raízes racionais do polinômio s^3+3s^2+4s+2. Testando s=-1 (-1)^3+3(-1)^2+4(-1)+2=-1+3-4+2=0,logo s+1 é fator. Fazendo a divisão polinomial obtemos: s^3+3s^2+4s+2=(s+1)(s^2+2s+2).
  • Observação útil: s^2+2s+2=(s+1)^2+1, que é a forma padrão para transformadas envolvendo e^{-t}\cos t e e^{-t}\sin t.

Passo 5

Fazer decomposição em frações parciais para poder inverter a transformada.
  • Escrevemos \frac{s+3}{(s+1)(s^2+2s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{Bs+C}{s^2+2s+2}.
  • Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s^2+2s+2) obtemos a identidade polinomial s+3 = A(s^2+2s+2)+(Bs+C)(s+1).
  • Expandindo e agrupando coeficientes: s+3=(A+B)s^2+(2A+B+C)s+(2A+C).
  • Igualando coeficientes com 0\cdot s^2 + 1\cdot s + 3, temos o sistema: A+B=0,
2A+B+C=1,
2A+C=3.
  • Resolvendo: da primeira B=-A. Substituindo nas outras: 2A -A + C =1 \Rightarrow A+C=1,
2A + C =3.
Subtraindo as duas equações: (2A+C)-(A+C)=3-1 \Rightarrow A=2. Logo B=-2 e C=1-A= -1.
  • Portanto a decomposição é Y(s)=\frac{2}{s+1}+\frac{-2s-1}{s^2+2s+2}.
  • Reescrevendo o numerador da segunda fração em termos de s+1 (facilita a inversão): -2s-1 = -2(s+1)+1,logo Y(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{2(s+1)}{(s+1)^2+1}+\frac{1}{(s+1)^2+1}.

Passo 6

Inverter a transformada termo a termo usando a tabela básica.
  • Lembranças rápidas da tabela (úteis aqui): \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}\right\}=e^{at}\cos(bt),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{b}{(s-a)^2+b^2}\right\}=e^{at}\sin(bt).
  • Aplicando com a=-1 e b=1: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{s+1}\right\}=2e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2(s+1)}{(s+1)^2+1}\right\}=2e^{-t}\cos t,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^2+1}\right\}=e^{-t}\sin t.
  • Lembre que a segunda fração tinha sinal negativo, então ao somar tudo: y(t)=2e^{-t}-2e^{-t}\cos t + e^{-t}\sin t.
  • Podemos fatorar e^{-t} para deixar mais compacto: y(t)=e^{-t}\big(2-2\cos t + \sin t\big).

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (checagem para aumentar confiança):
  • Em t=0: y(0)=e^{0}(2-2\cdot1+0)=0 (ok).
  • Derivando e avaliando em t=0 y'(0)=1 (confere com a condição). (A verificação completa de y''(0)=0 também se confirma, o que mostra consistência.)

Resposta

y(t)=e^{-t}\big(2-2\cos t+\sin t\big)

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