Resolva os seguintes problemas de valor inicial utilizando a transformada de Laplace. Apresente a solução final no domínio do tempo.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceira ordem com condições iniciais usando a transformada de Laplace e apresentar a solução final em função do tempo. Dados fornecidos (copiados do enunciado):
- Equação:
- Condições iniciais:
O que se pede: encontrar
para
usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Breve revisão da transformada de Laplace e das fórmulas de derivadas (para que você entenda cada passo).
- Definição: para uma função
com crescimento adequado, a transformada de Laplace é a função . - Transformada de derivadas (fórmulas que vamos usar). Se
, então:
Explicando de forma simples: essas fórmulas transformam derivadas em polinômios em
multiplicando
e subtraem termos que dependem das condições iniciais — por isso a Laplace é ótima para PVI (problemas de valor inicial).
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação inteira e substituir as condições iniciais.
- Tomando Laplace em cada termo e usando as fórmulas do passo anterior, com
, obtemos:
- Somando e impondo que a transformada do lado direito é zero, temos:
- Isolando
:
Passo 4
Fatorar o denominador e identificar a forma conveniente para usar a tabela da Laplace.
- Procuramos raízes racionais do polinômio
. Testando dá logo é fator. Fazendo a divisão polinomial obtemos: - Observação útil:
, que é a forma padrão para transformadas envolvendo e .
Passo 5
Fazer decomposição em frações parciais para poder inverter a transformada.
- Escrevemos
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial - Expandindo e agrupando coeficientes:
- Igualando coeficientes com
, temos o sistema:
- Resolvendo: da primeira
. Substituindo nas outras:
Subtraindo as duas equações:
. Logo
e
.
- Portanto a decomposição é
- Reescrevendo o numerador da segunda fração em termos de
(facilita a inversão): logo
Passo 6
Inverter a transformada termo a termo usando a tabela básica.
- Lembranças rápidas da tabela (úteis aqui):
- Aplicando com
e :
- Lembre que a segunda fração tinha sinal negativo, então ao somar tudo:
- Podemos fatorar
para deixar mais compacto:
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais (checagem para aumentar confiança):
- Em
: (ok). - Derivando e avaliando em
dá (confere com a condição). (A verificação completa de também se confirma, o que mostra consistência.)