A soluçao do problema de valor inicial
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=t^{2} e^{3 t}, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=17. é
\bigcirc a. 2 e^{3 t}-11 t e^{3 t}+\frac{1}{12} t^{4} e^{3 t}
\bigcirc b. 2 e^{3 t}-11 t e^{3 t}+\frac{1}{12} t^{2} e^{3 t}
\bigcirc c. 2 e^{3 t}+11 t e^{3 t}+\frac{1}{12} t^{4} e^{3 t}
\bigcirc d. 2 e^{3 t}-11 t e^{3 t}-\frac{1}{12} t^{2} e^{3 t}
\bigcirc e. 2 e^{3 t}+11 t e^{3 t}+\frac{1}{12} t^{2} e^{3 t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais:
y''-6y'+9y=t^{2}e^{3t},\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=17.
Pergunta-se qual das alternativas (a)–(e) é a solução correta. Informação importante fornecida: o termo forçante é t^{2}e^{3t}.

Passo 2

Primeiro vamos entender a parte homogênea (sem o termo à direita). A equação homogênea é
y''-6y'+9y=0.
Para resolver usamos a equação característica associada: substituímos y\mapsto e^{rt} e obtemos
r^{2}-6r+9=0.
Calculando as raízes dessa quadrática:
r^{2}-6r+9=(r-3)^{2},
logo há uma raiz dupla r=3 (multiplicidade 2). Quando a raiz r=a é dupla, a solução geral da homogênea tem a forma
y_{h}(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{3t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explico rápido: cada raiz simples fornece e^{rt}; uma raiz dupla fornece e^{rt} e t e^{rt}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} para a equação completa. O termo forçante é t^{2}e^{3t}, ou seja, um polinômio de grau 2 multiplicado por e^{3t}. Pela regra da metodologia de coeficientes a determinar: se o termo forçante é P(t)e^{at} e a é raiz da equação característica de multiplicidade s, devemos multiplicar a forma ansatz por t^{s} para evitar coincidência com a homogênea. Aqui a=3 é raiz de multiplicidade s=2. Portanto tomamos a forma
y_{p}(t)=e^{3t}t^{2}q(t),
onde q(t) é um polinômio de mesmo grau que P, ou seja grau 2. Podemos escrever
q(t)=\alpha t^{2}+\beta t+\gamma,
e então
y_{p}(t)=e^{3t}(\alpha t^{4}+\beta t^{3}+\gamma t^{2}).
(Observação: termos lineares e constantes adicionados a q gerariam componentes que pertencem à solução homogênea; isso será tratado depois.)

Passo 4

Há um atalho elegante que simplifica muito os cálculos: para y_{p}=e^{3t}p(t) (com p polinomial), temos as fórmulas
y_{p}'=e^{3t}(3p+p'),\qquad y_{p}''=e^{3t}(9p+6p'+p'').
Agora substituímos na esquerda da equação y''-6y'+9y:
y_{p}''-6y_{p}'+9y_{p}=e^{3t}\bigl(9p+6p'+p''-6(3p+p')+9p\bigr).
Repare que os termos envolvendo p e p' se cancelam:
9p+6p'+p''-18p-6p'+9p = p''.
Portanto o operador reduzido dá
y_{p}''-6y_{p}'+9y_{p}=e^{3t}p''(t).
Isso é consistente com a identidade operacional (D-3)^{2}(e^{3t}p)=e^{3t}p''. Assim a equação diferencial completa fica, ao dividir por e^{3t},
p''(t)=t^{2}.

Passo 5

Agora resolvemos p''(t)=t^{2}. Integramos duas vezes:
p'(t)=\int t^{2}\,dt=\tfrac{1}{3}t^{3}+A,
p(t)=\int\!\left(\tfrac{1}{3}t^{3}+A\right)dt=\tfrac{1}{12}t^{4}+At+B,
onde A e B são constantes de integração. Essas constantes correspondem a termos At+B em p, que ao multiplicar por e^{3t} produzem exatamente componentes da solução homogênea (C_{1}+C_{2}t)e^{3t}. Portanto podemos escolher, para a solução particular mais simples, A=0 e B=0. Assim um particular conveniente é
p(t)=\tfrac{1}{12}t^{4},
logo
y_{p}(t)=\tfrac{1}{12}t^{4}e^{3t}.

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{3t}+\tfrac{1}{12}t^{4}e^{3t}.
Para facilitar, podemos escrever
y(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}t+\tfrac{1}{12}t^{4}\bigr)e^{3t}.

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Usando y(0)=2:
y(0)=\bigl(C_{1}+C_{2}\cdot 0+\tfrac{1}{12}\cdot 0^{4}\bigr)e^{0}=C_{1}=2.
Agora precisamos de y'(t). Podemos derivar a forma geral. Para y(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{3t}+\tfrac{1}{12}t^{4}e^{3t} temos, usando as fórmulas já usadas:
\frac{d}{dt}\bigl((C_{1}+C_{2}t)e^{3t}\bigr)=e^{3t}\bigl(3(C_{1}+C_{2}t)+C_{2}\bigr)=e^{3t}(3C_{1}+C_{2}+3C_{2}t).
E para a parte particular (já calculada no passo 4 com p=\tfrac{1}{12}t^{4}):
\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{12}t^{4}e^{3t}\right)=e^{3t}\!\left(\tfrac{1}{4}t^{4}+\tfrac{1}{3}t^{3}\right).
Somando,
y'(t)=e^{3t}\bigl(3C_{1}+C_{2}+3C_{2}t+\tfrac{1}{4}t^{4}+\tfrac{1}{3}t^{3}\bigr).
Agora avaliamos em t=0:
y'(0)=e^{0}\bigl(3C_{1}+C_{2}+0+0+0\bigr)=3C_{1}+C_{2}.
A condição y'(0)=17
3C_{1}+C_{2}=17.
Como já temos C_{1}=2, substituindo:
3\cdot 2 + C_{2}=17 \quad\Rightarrow\quad 6 + C_{2}=17 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=11.

Passo 8

Substituindo C_{1}=2 e C_{2}=11 na solução geral, obtemos
y(t)=\bigl(2+11t+\tfrac{1}{12}t^{4}\bigr)e^{3t}.
Expandindo levemente:
y(t)=2e^{3t}+11te^{3t}+\tfrac{1}{12}t^{4}e^{3t}.
Comparando com as alternativas fornecidas, esta corresponde exatamente à alternativa (c).

Resposta

c. 2 e^{3 t}+11 t e^{3 t}+\frac{1}{12} t^{4} e^{3 t}

Exercícios relacionados