A soluçao do problema de valor inicial
. é
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais:
Pergunta-se qual das alternativas (a)–(e) é a solução correta. Informação importante fornecida: o termo forçante é
.
Passo 2
Primeiro vamos entender a parte homogênea (sem o termo à direita). A equação homogênea é
Para resolver usamos a equação característica associada: substituímos
e obtemos
Calculando as raízes dessa quadrática:
logo há uma raiz dupla
(multiplicidade 2). Quando a raiz
é dupla, a solução geral da homogênea tem a forma
onde
e
são constantes arbitrárias. Explico rápido: cada raiz simples fornece
; uma raiz dupla fornece
e
.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para a equação completa. O termo forçante é
, ou seja, um polinômio de grau
multiplicado por
. Pela regra da metodologia de coeficientes a determinar: se o termo forçante é
e
é raiz da equação característica de multiplicidade
, devemos multiplicar a forma ansatz por
para evitar coincidência com a homogênea. Aqui
é raiz de multiplicidade
. Portanto tomamos a forma
onde
é um polinômio de mesmo grau que
, ou seja grau
. Podemos escrever
e então
(Observação: termos lineares e constantes adicionados a
gerariam componentes que pertencem à solução homogênea; isso será tratado depois.)
Passo 4
Há um atalho elegante que simplifica muito os cálculos: para
(com
polinomial), temos as fórmulas
Agora substituímos na esquerda da equação
:
Repare que os termos envolvendo
e
se cancelam:
Portanto o operador reduzido dá
Isso é consistente com a identidade operacional
. Assim a equação diferencial completa fica, ao dividir por
,
Passo 5
Agora resolvemos
. Integramos duas vezes:
onde
e
são constantes de integração. Essas constantes correspondem a termos
em
, que ao multiplicar por
produzem exatamente componentes da solução homogênea
. Portanto podemos escolher, para a solução particular mais simples,
e
. Assim um particular conveniente é
logo
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Para facilitar, podemos escrever
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Usando
:
Agora precisamos de
. Podemos derivar a forma geral. Para
temos, usando as fórmulas já usadas:
E para a parte particular (já calculada no passo 4 com
):
Somando,
Agora avaliamos em
:
A condição
dá
Como já temos
, substituindo:
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, obtemos
Expandindo levemente:
Comparando com as alternativas fornecidas, esta corresponde exatamente à alternativa (c).
Resposta
c.