O enunciado pede: encontrar uma função f que satisfaz, para todo t\ge 0,
f(t)=t e^{t}+\int_{0}^{t} \tau f(t-\tau)\,d\tau.
Informações dadas: \; - A função f aparece isolada no lado esquerdo e também dentro de uma integral convolucional \int_{0}^{t}\tau f(t-\tau)\,d\tau.\n \; - O termo conhecido (forçamento) é t e^{t}.\n
O objetivo é determinar explicitamente f(t) que satisfaça essa igualdade para todo t\ge0.
Passo 2
Escolha do método (explicando de forma simples e amigável): a integral \int_{0}^{t}\tau f(t-\tau)\,d\tau tem a forma de uma convolução entre a função g(\tau)=\tau e f(\tau). Quando aparece convolução em equações envolvendo função desconhecida, uma ferramenta prática é a transformada de Laplace: ela transforma convolução em produto, tornando a equação integral numa equação algébrica em termos da transformada. Vou usar esse método porque é direto e evita entortar integrais complicadas — funciona muito bem numa prova e costuma ser rápido se você dominar as transformadas básicas.
Passo 3
Definição e propriedades que usaremos (mini-aula): \; - Transformada de Laplace: para uma função h(t) (causal, h(t)=0 para t<0),
\; - Propriedade essencial: a transformada da convolução é o produto das transformadas. Se (g*f)(t)=\int_{0}^{t} g(\tau) f(t-\tau)\,d\tau, então
\mathcal{L}\{g*f\}(s)=G(s)\,F(s).
\; - Transformadas que vamos usar: \; * \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}} para \Re(s)>0.\n \; * \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{s-a}.\n \; * A regra de deslocamento em frequência para potência: \mathcal{L}\{t e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{(s-a)^{2}}.\n \; - Inversas úteis: \; * \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{at}.\n \; * \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{(s-a)^{2}}\}=t e^{at}.\n \; * \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{(s-a)^{3}}\}=\dfrac{t^{2}}{2}e^{at}.
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace na equação dada: coloque F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s). A transformada do lado direito é a soma da transformada de t e^{t} e da transformada da convolução g*f com g(t)=t. Então,
Agora juntamos coeficientes por potências de s. O lado direito dá:
\begin{cases} \text{coeficiente de }s^{3}: & A+B,\\[4pt] \text{coeficiente de }s^{2}: & -3A - B + C,\\[4pt] \text{coeficiente de }s^{1}: & 3A - B + D,\\[4pt] \text{termo constante}: & -A + B - C + D. \end{cases}
No lado esquerdo temos s^{2}\], isto é coeficiente de \[s^{3} igual a 0, de s^{2} igual a 1, de s^{1} igual a 0 e constante 0. Assim obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] -3A - B + C=1,\\[4pt] 3A - B + D=0,\\[4pt] -A + B - C + D=0. \end{cases}
Resolvendo (vou resolver passo a passo): \;\] - Da primeira equação \(B=-A.\n
\; - Substituindo em -3A - B + C=1 dá -3A -(-A)+C=1\Rightarrow -2A + C=1\Rightarrow C=1+2A.\n \; - Substituindo B=-A em 3A - B + D=0 dá 3A -(-A)+D=0\Rightarrow 4A + D=0\Rightarrow D=-4A.\n \; - Usando B=-A,\;C=1+2A,\;D=-4A na última equação -A + B - C + D=0, temos