Encontre uma função f que satisfaz a equação
f(t)=t e^{t}+\int_{0}^{t} \tau f(t-\tau) d \tau

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma função f que satisfaz, para todo t\ge 0,
f(t)=t e^{t}+\int_{0}^{t} \tau f(t-\tau)\,d\tau.
Informações dadas:
\; - A função f aparece isolada no lado esquerdo e também dentro de uma integral convolucional \int_{0}^{t}\tau f(t-\tau)\,d\tau.\n
\; - O termo conhecido (forçamento) é t e^{t}.\n
O objetivo é determinar explicitamente f(t) que satisfaça essa igualdade para todo t\ge0.

Passo 2

Escolha do método (explicando de forma simples e amigável): a integral \int_{0}^{t}\tau f(t-\tau)\,d\tau tem a forma de uma convolução entre a função g(\tau)=\tau e f(\tau). Quando aparece convolução em equações envolvendo função desconhecida, uma ferramenta prática é a transformada de Laplace: ela transforma convolução em produto, tornando a equação integral numa equação algébrica em termos da transformada. Vou usar esse método porque é direto e evita entortar integrais complicadas — funciona muito bem numa prova e costuma ser rápido se você dominar as transformadas básicas.

Passo 3

Definição e propriedades que usaremos (mini-aula):
\; - Transformada de Laplace: para uma função h(t) (causal, h(t)=0 para t<0),
\mathcal{L}\{h\}(s)=H(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} h(t)\,dt.
\; - Propriedade essencial: a transformada da convolução é o produto das transformadas. Se (g*f)(t)=\int_{0}^{t} g(\tau) f(t-\tau)\,d\tau, então
\mathcal{L}\{g*f\}(s)=G(s)\,F(s).
\; - Transformadas que vamos usar:
\; * \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}} para \Re(s)>0.\n
\; * \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{s-a}.\n
\; * A regra de deslocamento em frequência para potência: \mathcal{L}\{t e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{(s-a)^{2}}.\n
\; - Inversas úteis:
\; * \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{at}.\n
\; * \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{(s-a)^{2}}\}=t e^{at}.\n
\; * \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{(s-a)^{3}}\}=\dfrac{t^{2}}{2}e^{at}.

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace na equação dada: coloque F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s). A transformada do lado direito é a soma da transformada de t e^{t} e da transformada da convolução g*f com g(t)=t. Então,
F(s)=\mathcal{L}\{t e^{t}\}(s)+\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t}\tau f(t-\tau)\,d\tau\right\}(s).
Usando as fórmulas da Passo 3:
\mathcal{L}\{t e^{t}\}(s)=\frac{1}{(s-1)^{2}},\qquad \mathcal{L}\{g\}(s)=\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}},
e pela propriedade da convolução,
\mathcal{L}\{g*f\}(s)=\frac{1}{s^{2}}F(s).
Portanto a equação algébrica em s é
F(s)=\frac{1}{(s-1)^{2}}+\frac{1}{s^{2}}\,F(s).
Isolando F(s):
F(s)\left(1-\frac{1}{s^{2}}\right)=\frac{1}{(s-1)^{2}}.
Como 1-\dfrac{1}{s^{2}}=\dfrac{s^{2}-1}{s^{2}}, obtemos
F(s)=\frac{1}{(s-1)^{2}}\cdot\frac{s^{2}}{s^{2}-1}=\frac{s^{2}}{(s-1)^{2}(s^{2}-1)}.
Note que s^{2}-1=(s-1)(s+1), então
F(s)=\frac{s^{2}}{(s-1)^{3}(s+1)}.

Passo 5

Decomposição em frações parciais (passo a passo): queremos escrever
\frac{s^{2}}{(s-1)^{3}(s+1)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{(s-1)^{2}}+\frac{D}{(s-1)^{3}}.
Multiplicando pelos denominadores comuns (s-1)^{3}(s+1)\), obtemos a identidade polinomial \[s^{2}=A(s-1)^{3}+B(s+1)(s-1)^{2}+C(s+1)(s-1)+D(s+1).
Agora expandimos e agrupamos termos (faço isso com calma):
\; - (s-1)^{3}=s^{3}-3s^{2}+3s-1.\n
\; - (s+1)(s-1)^{2}=s^{3}-s^{2}-s+1.\n
\; - (s+1)(s-1)=s^{2}-1.\n
Substituindo:
s^{2}=A(s^{3}-3s^{2}+3s-1)+B(s^{3}-s^{2}-s+1)+C(s^{2}-1)+D(s+1).
Agora juntamos coeficientes por potências de s. O lado direito dá:
\begin{cases} \text{coeficiente de }s^{3}: & A+B,\\[4pt] \text{coeficiente de }s^{2}: & -3A - B + C,\\[4pt] \text{coeficiente de }s^{1}: & 3A - B + D,\\[4pt] \text{termo constante}: & -A + B - C + D. \end{cases}
No lado esquerdo temos s^{2}\], isto é coeficiente de \[s^{3} igual a 0, de s^{2} igual a 1, de s^{1} igual a 0 e constante 0. Assim obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] -3A - B + C=1,\\[4pt] 3A - B + D=0,\\[4pt] -A + B - C + D=0. \end{cases}
Resolvendo (vou resolver passo a passo):
\;\] - Da primeira equação \(B=-A.\n
\; - Substituindo em -3A - B + C=1 -3A -(-A)+C=1\Rightarrow -2A + C=1\Rightarrow C=1+2A.\n
\; - Substituindo B=-A em 3A - B + D=0 3A -(-A)+D=0\Rightarrow 4A + D=0\Rightarrow D=-4A.\n
\; - Usando B=-A,\;C=1+2A,\;D=-4A na última equação -A + B - C + D=0, temos
-A +(-A) - (1+2A) +(-4A)=0.
Simplificando:
-2A -1 -2A -4A=0 \quad\Rightarrow\quad -8A -1=0 \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{8}.
Então
B=-A=\frac{1}{8},\qquad C=1+2A=1- \frac{1}{4}=\frac{3}{4},\qquad D=-4A=\frac{1}{2}.]

Passo 6

Agora reescrevemos F(s) com os coeficientes encontrados:
F(s)=-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{s+1}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{s-1}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{(s-1)^{2}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(s-1)^{3}}.
Aplicamos a transformada inversa termo a termo, lembrando as fórmulas da Passo 3:
\; - \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s+1}\}=e^{-t}.\n
\; - \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-1}\}=e^{t}.\n
\; - \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{(s-1)^{2}}\}=t e^{t}.\n
\; - \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{(s-1)^{3}}\}=\dfrac{t^{2}}{2}e^{t}.\n
Portanto
f(t)=-\frac{1}{8}e^{-t}+\frac{1}{8}e^{t}+\frac{3}{4}\,t e^{t}+\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{2}}{2}e^{t}.
Simplificando os termos com e^{t}:
f(t)= -\frac{1}{8}e^{-t}+e^{t}\!\left(\frac{1}{8}+\frac{3}{4}t+\frac{1}{4}t^{2}\right).
Para deixar ainda mais compacto, colocamos tudo sobre denominador 8 dentro do parêntese:
f(t)= -\frac{1}{8}e^{-t}+\frac{e^{t}}{8}\bigl(2t^{2}+6t+1\bigr).

Resposta

f(t)=-\frac{1}{8}e^{-t}+\frac{e^{t}}{8}\bigl(2t^{2}+6t+1\bigr).

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