Considere o sistema de equações
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\\\ 2 x+y-3 z=3 \\\ y+5 z=-1 \end{array}\right.
a) Encontrar a matriz LRFE linha equivalente à matriz ampliada do sistema, indicando as operações elementares.
b) Classifique o sistema e determine o seu conjunto solução.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações em três incógnitas e pede (a) a forma linha-equivalente reduzida por eliminação de Gauss e (b) a classificação e o conjunto solução. Vamos usar o método de eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas da matriz aumentada) para chegar à forma escalonada reduzida e, em seguida, identificar pivôs, analisar compatibilidade e escrever a solução geral.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr]:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\vline& 1\\\\ 2 & 1 & -3 &\vline& 3\\\\ 0 & 1 & 5 &\vline& -1 \end{pmatrix}

Passo 3

Zeramos o elemento abaixo de a_{11} em R_2 subtraindo 2 vezes R_1 de R_2:
R_2\leftarrow R_2 - 2\,R_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\vline& 1\\\\ 0 & -1 & -5 &\vline& 1\\\\ 0 & 1 & 5 &\vline& -1 \end{pmatrix}

Passo 4

Zeramos o elemento em R_3 na coluna 2 somando R_2 a R_3, e em seguida normalizamos o pivô de R_2 multiplicando por -1:
R_3\leftarrow R_3 + R_2, \quad R_2\leftarrow -\,R_2 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\vline& 1\\\\ 0 & 1 & 5 &\vline& -1\\\\ 0 & 0 & 0 &\vline& 0 \end{pmatrix}

Passo 5

Eliminamos o 1 em a_{12} para chegar à forma reduzida, subtraindo R_2 de R_1:
R_1\leftarrow R_1 - R_2 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 &\vline& 2\\\\ 0 & 1 & 5 &\vline& -1\\\\ 0 & 0 & 0 &\vline& 0 \end{pmatrix}

Passo 6

Da forma final vemos dois pivôs \rank=2 em três variáveis, logo o sistema é compatível indeterminado. Tomamos z=t livre e obtemos:
- Da linha 1: x - 4z = 2;⇒; x = 2 + 4t.
- Da linha 2: y + 5z = -1;⇒; y = -1 - 5t.

Resposta

(a) As operações foram
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\quad R_3\leftarrow R_3+R_2,\quad R_2\leftarrow -R_2,\quad R_1\leftarrow R_1-R_2
e a forma LRFE obtida é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 &\vline& 2\\\\ 0 & 1 & 5 &\vline& -1\\\\ 0 & 0 & 0 &\vline& 0 \end{pmatrix}.
(b) O sistema é compatível indeterminado (rank 2<3) e
\bigl\{(x,y,z)\in\Bbb R^3 \mid x=2+4t,\;y=-1-5t,\;z=t,\;t\in\Bbb R\bigr\}.

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