Exercício 2 (2,5 pontos) Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z) (y,-4 y,-z-2 x). Determine a imagem e o nucleo de T.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\qquad T(x,y,z) = \bigl(y,\,-4y,\,-z - 2x\bigr)
e pede a imagem (coluna de T) e o núcleo (quando T(x,y,z)=0). Para isso usaremos a matriz de T na base canônica, cálculo de espaço coluna e resolução do sistema homogêneo.

Passo 2

Vamos achar a matriz de T em relação à base canônica \{e_1,e_2,e_3\}.
T(e_1)=T(1,0,0) = (0,0,-2),\quad T(e_2)=T(0,1,0) = (1,-4,0),\quad T(e_3)=T(0,0,1) = (0,0,-1).
Logo a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -4 & 0\\\\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix},
cuja coluna i é T(e_i).

Passo 3

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A. Chamando
v_1=(0,0,-2),\quad v_2=(1,-4,0),\quad v_3=(0,0,-1),
vemos que v_1=2v_3, ou seja, v_1 e v_3 são linearmente dependentes. Assim uma base da imagem é \{v_2,\;v_3\} e
\Im(T) = \Span\bigl\{(1,-4,0),\,(0,0,-1)\bigr\}.

Passo 4

O núcleo de T\) é o conjunto de \((x,y,z)\) tais que \(T(x,y,z)=(0,0,0)\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} y = 0,\\\\ -4y = 0,\\\\ -z - 2x = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=0\] e da última \(z=-2x. Logo
\ker(T)=\{(x,0,-2x)\mid x\in\mathbb{R}\} = \Span\{(1,0,-2)\}.

Resposta

\displaystyle \Im(T)=\Span\bigl\{(1,-4,0),\,(0,0,-1)\bigr\},\qquad \ker(T)=\Span\{(1,0,-2)\}.

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