Exercício 2 (2,5 pontos) Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)(y,-4 y,-z-2 x). Determine a imagem e o nucleo de T.
e pede a imagem (coluna de T) e o núcleo (quando T(x,y,z)=0). Para isso usaremos a matriz de T na base canônica, cálculo de espaço coluna e resolução do sistema homogêneo.
Passo 2
Vamos achar a matriz de T em relação à base canônica \{e_1,e_2,e_3\}.
vemos que v_1=2v_3, ou seja, v_1 e v_3 são linearmente dependentes. Assim uma base da imagem é \{v_2,\;v_3\} e
\Im(T) = \Span\bigl\{(1,-4,0),\,(0,0,-1)\bigr\}.
Passo 4
O núcleo de T\) é o conjunto de \((x,y,z)\) tais que \(T(x,y,z)=(0,0,0)\). Isso dá o sistema
\[\begin{cases} y = 0,\\\\ -4y = 0,\\\\ -z - 2x = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=0\] e da última \(z=-2x. Logo