(Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear \left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\\ 3 x-y+2 z=3 \text { é compativel e determinado? } \\\ y+k z=-2\end{array}\right.é

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\\ 3x - y + 2z = 3,\\\ y + k z = -2, \end{cases}
e pergunta para quais valores de k ele é compatível e determinado, ou seja, possui solução única. Para isso, vamos montar a matriz de coeficientes e exigir que seu determinante seja não nulo (critério de Cramer).

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 3 & -1 & 2\\\\ 0 & 1 & k \end{pmatrix}.
O determinante de A pode ser calculado por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&2\\\ 1&k\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}3&2\\\ 0&k\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}3&-1\\\ 0&1\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1&2\\\ 1&k\end{pmatrix} =(-1)\cdot k - 2\cdot1 = -k - 2,
\det\begin{pmatrix}3&2\\\ 0&k\end{pmatrix} =3k - 0 = 3k,
\det\begin{pmatrix}3&-1\\\ 0&1\end{pmatrix} =3\cdot1 - 0 = 3.
Logo,
\det(A) =(-k - 2) - 3k + 3 =1 - 4k.

Passo 4

Para que o sistema seja compatível e determinado, é necessário \det(A)\neq0. Assim:
1 - 4k \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad k \neq \tfrac14.

Resposta

O sistema é compatível e determinado para todo k\neq\tfrac14.

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