(Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear \left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\\ 3 x-y+2 z=3 \text { é compativel e determinado? } \\\ y+k z=-2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\\ 3x - y + 2z = 3,\\\ y + k z = -2, \end{cases}
e pergunta para quais valores de k ele é compatível e determinado, ou seja, possui solução única. Para isso, vamos montar a matriz de coeficientes e exigir que seu determinante seja não nulo (critério de Cramer).
Passo 2
A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 3 & -1 & 2\\\\ 0 & 1 & k \end{pmatrix}.
O determinante de A pode ser calculado por expansão na primeira linha: